果树种植最优解精美图形作法探讨

wayne

2年前，数学爱好者们在 mathe的领导下完成了 20棵树种植问题。
emath如此伟大的壮举，如此巨大的革命成果 理应 让坛子外面更广大的人民群众所享有。
而要让更多的人欣赏此题的话，精美的图片展示应该是必要的。

目前本人尚有一点时间，打算完成这“赞”字 ，“叹”字，“美”字，的最后一捺。

但由于本人一直没好好学高等几何，也没完整的参与问题的讨论，所以肯定是有困难的，
但比起问题本身的解决来说，我这点工作根本算不了什么。

特开此贴。后面会有很多问题要请教mathe的。

看花容易绣花难，
预期在这过程中，
我能吸收到解决本题的所有精华。。。。

站内链接:
果树问题讨论
20棵树最优解计算
果树问题最优解大全
果树种植最优解精美图形作法探讨
植树问题王兴君解
植树问题蔡上人解


先睹为快：










可以直接看 #28

wayne

目前mathe的代码输出格式是：

1. 
   
2. print(ADGJBEIJCDHKAFIKCEGLBFHLCJMODINODLMPAHNPGKOPBGMQFJNQAEOQEHMRBKNRCFPRILQRABCSDEFSGHITJKLTMNST);
   
3. solve([+1+3*T_Y+1*T_Y*T_Y,-3/5+1*R_Y-2/5*T_Y,-4/5+1*R_X-1/5*T_Y,-3+1*H_X-1*T_Y,-4+1*P_X-1*T_Y,+1+1*S_X,-2+1*Q_X-1*T_Y,+2+1*O_X+1*T_Y,-1+1*L_Y-1*T_Y,+1+1*P_Y,-3+1*M_Y-2*T_Y,+1+1*D_Y+1*T_Y,-2+1*S_Y-1*T_Y,+1*G_Y-1*T_Y,-1+1*Q_Y,+1+1*N_Y,-2+1*C_Y-1*T_Y,-2+1*B_Y-1*T_Y,-1+1*O_Y,+1+1*H_Y,+2+1*C_X+1*T_Y,-2+1*N_X-1*T_Y,-1+1*L_X,-1+1*T_X,+2+1*M_X+1*T_Y,-2+1*F_X-1*T_Y],[T_Y,R_Y,R_X,H_X,P_X,S_X,Q_X,O_X,L_Y,P_Y,M_Y,D_Y,S_Y,G_Y,Q_Y,N_Y,C_Y,B_Y,O_Y,H_Y,C_X,N_X,L_X,T_X,M_X,F_X]);
   
4. print("A=(1,0,0) B_x=0 D=(1,D_y,0) E_x=0 E_y=1 F_y=0 G=(1,G_y,0) I_x=0 I_y=0 J=(0,1,0) K_x=1 K_y=0 ");
   

复制代码

按照原型，可以认为：
输出解的描述由三大部分组成：

1） 点与点的集合关系，即四元集合：
如上：ADGJBEIJCDHKAFIKCEGLBFHLCJMODINODLMPAHNPGKOPBGMQFJNQAEOQEHMRBKNRCFPRILQRABCSDEFSGHITJKLTMNST
2）点与线的结合关系，即线性方程组
如上：就是solve函数里面的。
3）预设的几个点的坐标形式该如何输出？
   如上： print("A=(1,0,0) B_x=0 D=(1,D_y,0) E_x=0 E_y=1 F_y=0 G=(1,G_y,0) I_x=0 I_y=0 J=(0,1,0) K_x=1 K_y=0 ");

要不要 先探讨一下输出解的格式的 标准化？
让输出结果的表达 对计算机语言更加的中性化，对人更加的友好。
以后也就方便把问题推广一般化，比如，n棵树，每行m棵。。。。

wayne

2# wayne
我的工作流程：
1）稍稍改动mathe的源程序，将数据的输出定制成方便Mathematica导入的格式
2）Mathematica作图。程序要具有普适性，不能有人工的介入，方便其他数据图案的批量生成。
3）仿射变换。仅根据原始数据，作出来的图形不一定美观清晰，需要做变换。
        这个是工作的重点，也是难点，办不到的话，批量产生精美图片也就无从谈起了。
4） 将公布14-20棵树每行4棵的所有最优解的美观的图案

wayne

接下来，我先做一下试探性的工作，以上面的例子数据作分析：
暂时将格式转换成：

1. ADGJBEIJCDHKAFIKCEGLBFHLCJMODINODLMPAHNPGKOPBGMQFJNQAEOQEHMRBKNRCFPRILQRABCSDEFSGHITJKLTMNST
   
2. +1+3*Ty+1*Ty*Ty,-3/5+1*Ry-2/5*Ty,-4/5+1*Rx-1/5*Ty,-3+1*Hx-1*Ty,-4+1*Px-1*Ty,+1+1*Sx,-2+1*Qx-1*Ty,+2+1*Ox+1*Ty,-1+1*Ly-1*Ty,+1+1*Py,-3+1*My-2*Ty,+1+1*Dy+1*Ty,-2+1*Sy-1*Ty,+1*Gy-1*Ty,-1+1*Qy,+1+1*Ny,-2+1*Cy-1*Ty,-2+1*By-1*Ty,-1+1*Oy,+1+1*Hy,+2+1*Cx+1*Ty,-2+1*Nx-1*Ty,-1+1*Lx,-1+1*Tx,+2+1*Mx+1*Ty,-2+1*Fx-1*Ty
   
3. Ty,Ry,Rx,Hx,Px,Sx,Qx,Ox,Ly,Py,My,Dy,Sy,Gy,Qy,Ny,Cy,By,Oy,Hy,Cx,Nx,Lx,Tx,Mx,Fx
   
4. Ax=1,Ay=0,Az=0,Bx=0,Bz=1,Dx=1,Dz=0,Ex=0,Ez=1,Ey=1,Ez=1,Fy=0,Fz=1,Gx=1,Gz=0,Ix=0,Iz=1,Iy=0,Iz=1,Jx=0,Jy=1,Jz=0,Kx=1,Kz=1,Ky=0,Kz=1,
   

复制代码

规定缺失的z坐标为1，
定制后的C++代码
solve8.cpp (29.33 KB, 下载次数: 2)

2012-1-14 09:32 上传

点击文件名下载附件

wayne

Mathematica代码出来了，加了注释：

1. 
   
2. Clear["Global`*x"]; Clear["Global`*y"];Clear["Global`*z"];
   
3. (*读入数据*)
   
4. ans = Flatten[Import["G:/solve8/ans.txt", "Data"]];
   
5. chars = Union[Characters[ans[[1]]]];
   
6. (*载入预设坐标的值*)
   
7. ToExpression[StringSplit[ans[[4]], ","]];
   
8. (*计算出齐次坐标*)
   
9. sol = Solve[ToExpression[StringSplit[ans[[2]], ","]] == 0];
   
10. tmp1 = {Symbol[# <> "x"], Symbol[# <> "y"], Symbol[# <> "z"]} & /@ chars /. sol[[1]] /. Map[Rule[#, 1] &, DeleteCases[Sort[Symbol[# <> "z"] & /@ chars], _Integer]];
    
11. (*做随机仿射变换，并转换成笛卡尔坐标*)
    
12. rm = RandomReal[10, {3, 3}];
    
13. tmp = Table[ii[[1 ;; 2]]/ii[[3]], {ii, tmp1.rm}];
    
14. (*代入到线段的各个端点求出坐标值*)
    
15. lines = Partition[Table[tmp[[ii]], {ii, ToCharacterCode[ans[[1]]] - 64}], 4];
    
16. (*画图*)
    
17. Graphics[{Line[lines], Table[Text[Style[chars[[ii]], Red, 24], tmp[[ii]] + .031], {ii, 20}], Blue, PointSize[.01], Point[tmp]}, AspectRatio -> 1]
    

复制代码

例子数据我也附带上来，方便感兴趣的人亲自执行 ，见： ans.txt (613 Bytes, 下载次数: 2)

2012-1-14 10:23 上传

点击文件名下载附件

计算出在mathe规范的空间下各个点的齐次坐标为：
A        {1,0,0}
B        {0,1/2 (1-Sqrt[5]),1}
C        {1/2 (-1+Sqrt[5]),1/2 (1-Sqrt[5]),1}
D        {1,1/2 (1+Sqrt[5]),0}
E        {0,1,1}
F        {1/2 (1-Sqrt[5]),0,1}
G        {1,1/2 (-3-Sqrt[5]),0}
H        {1/2 (3-Sqrt[5]),-1,1}
I        {0,0,1}
J        {0,1,0}
K        {1,0,1}
L        {1,1/2 (-1-Sqrt[5]),1}
M        {1/2 (-1+Sqrt[5]),-Sqrt[5],1}
N        {1/2 (1-Sqrt[5]),-1,1}
O        {1/2 (-1+Sqrt[5]),1,1}
P        {1/2 (5-Sqrt[5]),-1,1}
Q        {1/2 (1-Sqrt[5]),1,1}
R        {1/10 (5-Sqrt[5]),-(1/Sqrt[5]),1}
S        {-1,1/2 (1-Sqrt[5]),1}
T        {1,1/2 (-3-Sqrt[5]),1}

我们不妨先将这些点所在的平面，即mathe解题时所规范的空间，称作 mathe的alpha 解空间。

wayne

将mathe的alpha 解空间做变换：
{{80, 80, 84}, {50, 80, 97}, {12, 50, 34}}
得到：

若变换是{{6.59076, 6.55043, 4.11067}, {4.97772, 1.15536, 2.79758}, {4.48417, 9.34313, 9.79811}}，得到

wayne

现在一切就绪，问题来了，也是问题的中心，
由给定点集构成的图形，该如何选取祂的变换矩阵，使得变换后的图形看上去更美？

这个时候，由于涉及到人的感官问题，因而无需严格意义的精确，模糊即可，
我认为，变换后的矩阵至少同时满足两个性质才叫美：
1）对称才美。
     至少有一个近似的对称轴。对称轴越多就越美。
2）紧凑均匀才叫美。
     数据坐标点的绝对的大小无关紧要，但要相对差不多，即分散均匀，不能扎堆。

在对于美的评价上，大家怎么看，需要补充的吗，
我打算2天后才继续

数学星空

对于数学几何美的定义,我赞同楼上的观点:
1）对称才美。
     至少有一个近似的对称轴。对称轴越多就越美。
2）紧凑均匀才叫美。
     数据坐标点的绝对的大小无关紧要，但要相对差不多，即分散均匀，不能扎堆。

数学星空

数学美的主要特征:
简洁而精确,对称而和谐,普适而深刻!

wayne

6# wayne
将第二个图形的变换矩阵稍稍修正，得到很不错的图形：
由{{6.59076, 6.55043, 4.11067}, {4.97772, 1.15536, 2.79758}, {4.48417, 9.34313, 9.79811}}
微调成
{{6, 6, 3}, {6, 1, 3}, {4, 4, 9}}