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[提问] 黎曼函数平凡零点

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发表于 2013-5-29 09:03:21 | 显示全部楼层 |阅读模式

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Wikipedia上说,当s=-2,-4,-6等负偶整数数,黎曼函数$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\prop}1/(n^s))=(1/(1^s))+(1/(2^s))+(1/(3^s))+(1/(4^s))+...$
的值为0.但我的计算结果却不是0,我哪儿错了吗?
如,当s=-2时,我的计算过程和结果如下,请指出我哪儿错了。
zeta(s)=1/1^-2 +  1/2^-2 +1/3^-2+1/4^-2 +...
             =1/(1/1) + 1/(1/2^2) + 1/(1/3^2) +1/(1/4^2) + ...
             =1 + 1/(1/4) + 1/(1/9) + 1/(1/16) + ...
             =1 + 4 + 9 + 16 + ...
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-5-29 09:33:43 | 显示全部楼层
刚Google了下,发现你的黎曼函数公式搞错了,分母上的指数是不需取相反数的。
但“ζ函数在负偶整数点的值为零”这个结论是否为真我不清楚。
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 楼主| 发表于 2013-5-29 11:56:01 | 显示全部楼层
错误已更正。维基百科黎曼猜想 中提到。“黎曼猜想(RH)是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数s ≠ 1上有定义。它在负偶数上也有零点(例如,当s = -2, s = -4, s = -6, ...)。这些零点是“平凡零点”。”
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发表于 2013-5-29 16:54:28 | 显示全部楼层
呵呵,这个我恰好知道一点点。
就是1+4+9+16+...为什么等于0呢?这不是胡说么?呵呵。
先说说为什么1+2+4+8+16+…=-1。
根据等比数列的公式,1+x+x^2+x^3+…=1/(1-x),把x=2代入,就可以得到上面“荒谬”的结果了。
这种方法叫做“解析延拓”,可以看到1/(1-x)在除了1以外的点都有定义,而1+x+x^2+x^3+…只有在x的绝对值小于1时有定义,而且重要的是:这两个东东在有定义时的无穷多个点(就是半径1的圆盘内)上都相等。既然1+x+x^2+x^3+…的定义域没有1/(1-x)广阔,我们就把定义域外面的地方“强制”规定好了,这样就把1+x+x^2+x^3+…“延拓”了,呵呵。
可以类比,1+4+9+16+...也可以这样“延拓”,但是可惜是1+4+9+16+...没有1/(1-x)这样的“显式”来对应,所以就难了,呵呵。
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 楼主| 发表于 2013-5-29 17:12:00 | 显示全部楼层
中学就学过,1^2+2^2+3^2+...+ n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 ,这里竟然变成0了,以精确严密著称的数学居然有这样自相矛盾,难以理解的东西。
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 楼主| 发表于 2013-5-29 17:32:17 | 显示全部楼层
我想起另一个外延的例子,在Toom-Cook乘法中,见Cook_multiplication ,取的几个插值点是0,1,-1,-2,$\prop$,文中说p($\prop$)=m2,正无穷参与运算是个诡异的做法,其文中给出的计算结果,是忽略低阶项,仅保留最高阶项,用初等数学知识,是无法准确理解这个结论的,我的数学不好,只能意会了。
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发表于 2013-5-29 17:36:21 | 显示全部楼层
这是因为顶楼的公式只适用于Re(s)>1的情况
而对于其他情况,需要用复变函数里面的方法通过解析延拓来定义。
其依据就是对于任意解析函数,只要确定了复平面中任意一个小区域里面的值,整个解析函数就唯一确定了。
就相当于定义函数
1+x+x^2+...+x^n+...
这个级数只有|x|<1时有定义,但是它可以唯一确定整个解析函数1/(1-x)
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发表于 2013-5-30 02:23:49 | 显示全部楼层
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发表于 2013-8-20 16:06:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 云梦 于 2013-8-20 16:19 编辑

最近在研究黎曼函数,计算真的不太容易。尤其是Zeta[n]当n比较小时,收敛太慢了,可始终没找到快速计算的公式。
黎曼函数在负数域的定义是:Zeta[-n]=- Bernoulli[n+1]/(n+1),   因为除了1以外的所有奇数的伯努利数均为零,所以当n为偶数时,n+1的伯努利数自然是零。

荒谬的结果是因为黎曼函数在正负域的定义是不同的,当负数时自然不能延用正数域的定义。
B.PNG
p1.PNG
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发表于 2013-8-20 16:44:42 | 显示全部楼层
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9 ... 6%E5%87%BD%E6%95%B8
ζ函数满足如下函数方程:

对于所有C\{0,1}中的s成立。这里,Γ表示Γ函数。这个公式原来用来构造解析连续性。在s = 1,ζ函数有一个简单极点其留数为1。上述方程中有sin函数,的零点为偶数s = 2n,这些位置是可能的零点,但s为正偶数时,sin(πs/2)Γ(1−s)为不为零的规则函数,只有s为负偶数时,ζ函数才有零点,称为平凡零点。
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