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[讨论] 三角形正负等角中心间距

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发表于 2013-7-21 21:39:32 | 显示全部楼层 |阅读模式

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陈都先生1998年得到以下结果:
精华

20130721130512000.jpg

我们的问题是如何得到此结果?

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-7-23 08:05:00 | 显示全部楼层
要说是如何得到如此复杂的公式?确实有些不可思议(定理中提到的面积并未在公式中出现)。

满天繁星,也很难找到同等亮度为顶点的正三角形或正方形(我小时候的观察体会),
但神奇的是,三角形里却有许多奇妙的性质,不断被人们发现,
比如说九点共圆、多点共线、多线共点等问题,呈现出数学的奇异美。

点评

答gxqcn老师:定理中提到的面积虽然未在公式中出现,但在证明中出现了。谢谢您的关注!  发表于 2016-9-6 13:15
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-7-23 10:08:56 | 显示全部楼层
证明不是太难,就是有点繁杂。

应该赞一下 提出这个命题的人!

================
楼主的贴图好像有问题,待我有时间自己画一个图
chendu.png


我是用GeoGebra画的,顺便把画图文件也传上来
chendu.ggb (8.64 KB, 下载次数: 1)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-7-23 13:20:14 | 显示全部楼层
确实有些不可思议(定理中提到的面积并未在公式中出现)。

星空 给的答案 应该有问题。
因为,我从作图 看得出来 ,  设 d^2= f(a,b,c) ,则 f(a,b,c) =f1(a-b,c) = f2(b-c,a) = f3(c-a,b)

即,a=b时, f(a,b,c) 只与c有关。

代入特征点得到:
a=b时, d^2= c^2/3
b=c时, d^2= a^2/3
c=a时, d^2= b^2/3
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-7-23 16:29:52 | 显示全部楼层
证明三线共点:
  1. t=PadRight[{a,b}/.First@Solve[{a x1+b y1+1==0,a x2+b y2+1==0},{a,b}]/.Thread[{x1,y1,x2,y2}->Flatten[{RotationMatrix[\[Theta]].{x2-x1,y2-y1}+{x1,y1},{x3,y3}}]],3,1];
  2. dd=Table[t=t/.Thread[{x1,x2,x3,y1,y2,y3}->{x2,x3,x1,y2,y3,y1}],{3}];
  3. TrigFactor@Det[dd/.\[Theta]->Pi/3]
复制代码
令 theta =Pi/3 或者 -Pi/3 时,行列式均为0, 即“正等角中心”   E,F是存在的


而且当且仅当theta=+-Pi/3 行列式才为0, 即只有正三角的情况下, 才会出现三线共点
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2013-7-23 22:50:39 | 显示全部楼层
画图检验:1#公式的确有误
360截图20130723224859666.jpg
$d = 409.05, R = 418.66, a = 836.45, b = 684.37, c = 512.68$
得到:$d^2-(9*R^2-a^2-b^2-c^2)/(3*R^2*(1/a^2+1/b^2+1/c^2-1/R^2))=-295.0396$
那么,关于d公式到底是什么呢?

由于CAD画图及测量误差,经过理论计算
$R=418.6484736,d=409.3391251$,即陈都公式完全正确
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 楼主| 发表于 2013-7-23 23:38:46 | 显示全部楼层
经过计算:
$d^2=M/N$
其中
$M=48*(a^4-2*a^2*b^2-2*a^2*c^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)^2*(a^10-2*a^8*b^2-2*a^8*c^2+a^6*b^4+4*a^6*b^2*c^2+a^6*c^4+a^4*b^6-3*a^4*b^4*c^2-3*a^4*b^2*c^4+a^4*c^6-2*a^2*b^8+4*a^2*b^6*c^2-3*a^2*b^4*c^4+$
$4*a^2*b^2*c^6-2*a^2*c^8+b^10-2*b^8*c^2+b^6*c^4+b^4*c^6-2*b^2*c^8+c^10)*R^4$
$N=((sqrt(3)*a^3*b*c+sqrt(3)*a*b^3*c+sqrt(3)*a*b*c^3+3*R*a^4-6*R*a^2*b^2-6*R*a^2*c^2+3*R*b^4-6*R*b^2*c^2+3*R*c^4)^2*(sqrt(3)*a^3*b*c+$
$sqrt(3)*a*b^3*c+sqrt(3)*a*b*c^3-3*R*a^4+6*R*a^2*b^2+6*R*a^2*c^2-3*R*b^4+6*R*b^2*c^2-3*R*c^4)^2)$
代入:
$R = 418.64847, a = 836.45, b = 684.37, c = 512.68$
计算得:$d=409.3390976$
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发表于 2013-7-24 10:23:01 | 显示全部楼层


我检验了一下你的式子,发现 a=b时, d^2!= c^2/3

星空,你这个式子是咋得出来的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-7-24 15:06:51 | 显示全部楼层
换了一种作图方式, 发现,命题可以推广:

将  往内外做正三角形 改成 做 以三角形所在边为底边,底角为确定的theta 的 等腰三角形,则结论仍然成立。
0130727004234.png

角度theta变化的时候,E,F 的轨迹的并集 构成一条双曲线,(该双曲线经过三角形的三个顶点,以及其垂心和重心,五点确定一条圆锥曲线)。

即EF是双曲线的弦长!
三角形垂心H和重心G之间的这段 双曲线弧长 是E点的 运动范围,
除此之外的范围 均是 F点的运动轨迹。

太有意思了!

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发表于 2013-7-24 19:06:05 | 显示全部楼层
做每一个正三角形的外接圆,这个问题的本质将暴漏无疑,

E点是向外的正三角形外接圆的交点,F点是向内的正三角形的外接圆的交点

000.png
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