数学研发网设为首页收藏本站

数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 17574|回复: 132

[讨论] 20多年了,我无力解出来的一道高中奥数题!

  [复制链接]
发表于 2013-11-18 10:59:13 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
  这是20多年前奥赛集训时,教练郝老师给我出的训练题。当年没解出,忙着比赛;接着,又开始忙着高考……于是,这题就被我丢下了。
  据郝老师说这题有巧解方法,用不着笨拙的大量计算,答案都是简短、对称的代数式。20多年过去了,我依然没有解出这道题。而郝老师,我已寻不着他的音讯 ……
精华

  天涯论坛有人说,这题在“材料结构学”……等领域,具有实用价值……
  现在,之所以重新捡起这道题,一是为了怀念,二是为了找回当年的状态,以便辅导孩子……

  【 题目】四面体ABCD内一点T到四顶点的距离 TA=a、TB=b、TC=c、TD=d,求:
                  1、四面体ABCD 体积最大值及取最值的条件。
     2、四面体ABCD 表面积最大值及取最值的条件。
  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
  当年,我天天摸数学,状态处于最好的时候,都没有解开这道题。现在,N 年都没摸数学了,确实再也无力解开这么难的题了。刊登在此,静候高人解惑吧 ……

点评

这是数学星空擅长的题目,期待数学星空大显身手哦~  发表于 2013-11-18 11:05

评分

参与人数 3威望 +10 金币 +30 贡献 +10 经验 +10 鲜花 +10 收起 理由
northwolves + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 很优美的题目,期待完美解决方案。
gxqcn + 20 首帖奖励,欢迎常来。
mathematica + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 很有意思的一道题目,我只好坐等答案!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2013-11-18 11:26:15 | 显示全部楼层
KeyTo9_Fans  :这题很开放,向量法、微积分法、三角函数法、立体解析几何法……都可在这题中一试身手。但若不走“数形结合”这条路,仅仅只用数值计算,那么,无论用什么办法,即使你用 matlab 软件计算,都会因为“天量计算”问题而失败。matlab 软件其实是很笨的,它全靠使用者提供思路、建模。对于这类“开放”的数学问题,matlab 软件只能用于帮助验算我们的思路、设想是否正确。而对于解题本身,应该帮助不大。

  我感觉,要解这题,必须先用几何推导法证明T点是四面体的特殊一点,从而简化计算。你认为呢?

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2013-11-18 11:30:06 | 显示全部楼层
解决问题可以用很多方法,但确定取最值时T点的几何特征十分重要。
比如,当体积最大时,T显然是四面体ABCD的“垂心”。

  证明:假设四面体ABCD体积最大时, T不是四面体的垂心。
  假定TA不垂直于BCD。设T在BCD面上的投影为E,延长ET至W, 使TW=a。
  显然四面体WBCD的体积大于ABCD。这就与体积最大前题相矛盾了。所以TA 必垂直于BCD
       同理TB、TC、TD也必垂直于对应的底面。于是, T是四面体的垂心。

点评

@kastin ,严格按照充要条件来证明“体积最大时,T是垂心”其实并不复杂,与我上面的证明大同小异,只不过写起来繁琐罢了。你若不怕麻烦,可以自己写一下  发表于 2013-11-21 10:22
T点不是唯一的。但是——①体积最大时,T点都是垂心;②体积最大时的四面体,都是相同的  发表于 2013-11-21 10:03
感觉有点问题,首先得确定体积取最大值时点T是否唯一。其次,充要条件与必要条件是不同的。(你的证明只能说明体积最大-->TA⊥BCD,TB⊥ACD,TC⊥ABC,TD⊥ABC,因为对称性,并不一定得同时成立)  发表于 2013-11-20 10:39
字打错了,更正其中一段文字…… 然后,我们经过T向BCD划垂线,并将垂线反向延长a米,从而得到点W。 显然四面体WBCD的体积大于ABCD。这就与假设矛盾了。  发表于 2013-11-19 09:42
我是70年的,你说是不是40多岁?  发表于 2013-11-18 14:39

评分

参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 鲜花 +2 收起 理由
Lwins_G + 2 + 2 + 2 + 2 正确

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-11-18 12:43:58 | 显示全部楼层

,T

如果设T坐标为 (0,0,0) ,那么各个顶点的坐标为 (a*cosx, a*sinx*cosy, a*sinx*siny) ,体积公式 就是 行列式的绝对值了。 该行列式每列可以提取a,b,c,d ,于是问题等价与 求 单位球内接四面体的最大体积是多少 ,这个就是正面体了。 也就是说, 答案就是 TA,TB,TC,TD 两两的夹角都是 - arccos(1/3) 的时候,体积最大。

点评

a=b=c=d时确实如此。  发表于 2013-11-18 13:38

评分

参与人数 1鲜花 +1 收起 理由
zhouguang + 1 貌似有点问题。

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-11-18 12:58:53 | 显示全部楼层
我解答不出这道题目,但是我想能不能回到平面二维来一个面积最大?然后依次来推测三维里面是什么情况!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-11-18 13:00:22 | 显示全部楼层
假如二维里面是重心,那么三维里面也很可能是重心!这个只是我的猜测。各位可以考虑考虑

点评

思路错了,看7楼  发表于 2013-11-18 14:42
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-11-18 13:05:44 | 显示全部楼层
我来发一个三角形的情况来抛砖引玉吧:
平面上给定一点P,冻结PA=a,PB=b,PC=c。则有:
1) 当P为ABC之垂心时,△ABC的面积取到极大值。
2) 当P为ABC之内心时,△ABC的周长取到极大值。
证明留给大家。

点评

这个论坛,果然高手云集……  发表于 2013-11-18 14:42
第一点我已经证明;第二点,你我的看法相同,当四面体的表面积最大时,T是四面体“内切球的球心”,即内心。但是,我给不出第二点的严谨证明  发表于 2013-11-18 14:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-11-18 13:08:16 | 显示全部楼层
(*二维情况,求面积最大情况*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
a=3;
b=4;
c=7;
NMaximize[{0.5*a*b*Sin[ab]+0.5*b*c*Sin[bc]+0.5*a*c*Sin[ac],ab+bc+ac==2*Pi}, {ab,bc,ac}]
{26.9233, {ab -> 2.39141, bc -> 1.8897, ac -> 2.00208}}
{137.017, 108.272, 114.711}这个是角度
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-11-18 13:15:55 | 显示全部楼层
利用拉格朗日乘子法,得到二维的情况是,角度余弦值与相对的长度之比相等!
期待三维的情况

点评

定理:设H为△ABC的垂心,我们有$AH:BH:CH:R = \cos A : \cos B : \cos C : \frac{1}{2}$。  发表于 2013-11-18 13:29
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-11-18 13:42:55 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2013-11-18 13:15
利用拉格朗日乘子法,得到二维的情况是,角度余弦值与相对的长度之比相等!
期待三维的情况

那如何得到三维情况的比例等式呢?(如果确实存在的话),还有这个R是如何弄进去的?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|Archiver|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号  

GMT+8, 2017-7-25 08:41 , Processed in 0.217409 second(s), 31 queries .

Powered by Discuz! X3.2

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表