一道三角形的题目

northwolves

△ABC中 , 已知cosA:cosB:cosC=12:9:2, 求 sinA:sinB:sinC

朋友家的高一学生问的，我帮他求出来了，过程太复杂。

有没有巧妙的方法？

wayne

设$cosA/12=cosB/9=cosC/2=1/k$
sinA=sin(B+C) = sinB·cosC + sinC·cosB  =2/k·sinB+9/k·sinC
sinB=sin(A+C) = sinA·cosC + sinC·cosA  =12/k·sinC+2/k·sinA
sinC=sin(A+B) = sinA·cosB + sinB·cosA  =9/k·sinA+12/k·sinB
上述关于sinA, sinB, sinC的齐次方程有非零解，故其系数行列式为零，即\[\begin{vmatrix}
-k&2&9\\2&-k&12\\9&12&-k
\end{vmatrix}=0\]我倒, 还要解一元三次方程:     `k^3 - 229 k -432= 0`
还好左边可以因式分解：`(k-16)(k^2+16k+27)=0`
显然方程有唯一正根 k=16, 代入解得齐次方程的非零根为
sinA : sinB : sinC  = 4: 5 : 6

northwolves

如果 sinA:sinB:sinC=4：5：6，求cosA:cosB:cosC 又过于简单了

wayne

如果  cosA:cosB:cosC =x:y:z , 那么系数行列式即\[\begin{vmatrix}
-k&z&y\\z&-k&x\\y&x&-k
\end{vmatrix}=0\]展开式为一元三次方程:  `k^3 -(x^2+y^2+z^2) k -2xyz =0`.
出题人只恨美中不足啊.

northwolves

cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB-->cosAcosB+cosC=sinAsinB-->cos²A+cos²B+cos²C+2cosAcosBcosC=1-->k³-229k−432=0

mathematica

只有笨办法,没有巧妙的办法!

1. (*计算正弦值比例*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. (*正弦定理sinA:sinB=a:b,剩下类推*)
   
4. (*分子分母都二次齐次多项式,所以可以假设c=1*)
   
5. c=1;
   
6. cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c);
   
7. cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c);
   
8. cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b);
   
9. out=Solve[{cosA/cosB==12/9&&cosB/cosC==9/2&&0<a<b},{a,b}]
   

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运算结果:
{{a -> 2/3, b -> 5/6}
于是a:  b :c=2/3:5/6:1=4:5:6

mathematica

△ABC中 , 已知cosA:cosB:cosC=22:17:8  求 sinA:sinB:sinC
我也出一道类似的题目!

mathematica

northwolves 发表于 2013-11-18 22:55
cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB--------->cosAcosB+cosC=sinAsinB------->cosA+cosB+cosC+2cosAcosBcosC ...

如果用 sinA:sinB:sinC=3:4:5求解,则得到cosA:cosB:cosC=4:3:0得到直角三角形,求解太容易!
如果用 sinA:sinB:sinC=5:6:7求解,则得到cosA:cosB:cosC=25:19:7则求解稍微复杂一些.
但是如果用sinA:sinB:sinC=4:5:6,则cosA:cosB:cosC=12:9:2
所以取一个中间值

mathematica

不怕手算麻烦的可以尝试求解
sinA:sinB:sinC=10370370370370368507407407407407491 :8148148148148146696296296296296361 :4444444444444443700000000000000031
请记住一定要手算,像我这样的人都懒,直接用mathematica

chyanog

1. Solve[{A + B + C == Pi, k > 0, r1 > 0, r2 > 0, Cos[A] == 12 k,
   
2.    Cos[B] == 9 k, Cos[C] == 2 k, Sin[A]/Sin[B] == r1, Sin[B]/Sin[C] == r2}, {r1, r2, k}, {A, B, C}] // AbsoluteTiming

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Or

1. Reduce[{A + B + C == Pi, Cos[A]/Cos[B] == 12/9, Cos[B]/Cos[C] == 9/2,
   
2.   Sin[A]/Sin[B] == r1, Sin[B]/Sin[C] == r2}, {r1, r2}, {A, B, C}]
   
3. Reduce[% && r1 > 0 && r2 > 0, {r1, r2}]

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