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[转载] 一道不等式题

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发表于 2014-1-22 12:17:02 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知函数 \( f(x)=2x-x^2 \),函数 \( g(x)=\sin\left(\dfrac{πx}{2}\right) \),证明:
  • 当 \( x \in [0,2 \)] 时,\( f(x) \geqslant g(x) \)
  • 当 \( x \in [0,2 \)] 时,\( f(x) \leqslant \sqrt{g(x)} \)
  • 当 \( x \in [0,2 \)] 时,\( \sqrt{f(x)} \leqslant g\left(\sqrt{x}\right) \)

点评

对于外部论坛帖子,如果内容不多的,最好是把内容转帖进来(我已帮你编辑好了)  发表于 2014-1-22 13:15
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-1-22 15:09:04 | 显示全部楼层

对于外部论坛帖子,如果内容不多的,最好是把内容转帖进来(我已帮你编辑好了)  
谢谢!!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-1-22 19:10:42 | 显示全部楼层
我来抛砖引玉吧:

第一问相当于证明当`-1 \leq x \leq 1`时
\[ f(x) \triangleq 1 - x^2 - \cos \left( \frac{\pi}{2} x\right) \geq 0. \]
当然,只需证明上式在`x \in [0,1]`时成立即可。

我们来考察`f'(x)`,易知
\[f'(x) = \frac{\pi}{2} \sin \left( \frac{\pi}{2} x\right) - 2x.\]
不难证明,当`x \in \left[0, \frac{3}{4}\right]`时`f'(x) \geq 0`,而当`x \in \left[\frac{3}{4},1\right]`时`f'(x) \leq 0`。

再结合`f(0)=f(1)=0`即可证得。

点评

也许,这道题的本质会和Chebyshev多项式有一定关系。  发表于 2014-1-22 19:21
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-1-23 10:18:12 | 显示全部楼层
Lwins_G 发表于 2014-1-22 19:10
我来抛砖引玉吧:

余弦可以用倍角公式展开,问题即是证明:
\[f(x) \triangleq 2\sin^2\left( \frac{\pi x}{4}\right) -x^2 \geq 0\]
由于相减的这两个 起始点都一样,但一个是凸的正弦函数,一个是直线。所以恒大于等于0

我做了一个图:
111.png
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 楼主| 发表于 2016-8-19 14:45:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2016-8-19 15:00 编辑
葡萄糖 发表于 2014-1-22 12:17
已知函数$f(x)=2x-x^2$,函数$g(x)=sin(\frac{πx}{2})$,证明:
ⅰ.当$x∈[0,2]$时,\(f(x) \geqslant g(x)\)
ⅱ. 当$x∈[0,2]$时,\(f(x) \leqslant \sqrt{g(x)}\)
ⅲ. 当$x∈[0,2]$时,\(\sqrt{f(x)}\leqslant g(\sqrt{x})\)

Lwins_G 发表于 2014-1-22 19:21
也许,这道题的本质会和Chebyshev多项式有一定关系。


这个题与本征函数有什么样的联系?

《矩阵论札记》P184
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