开区间(0,1)与闭区间[0,1]怎样建立一一对应？？

sunwukong

开区间\((0,1)\)与闭区间\([0,1]\)能否建立一个一一对应关系？

我想通过一个连续函数把开区间\((0,1)\)对应到闭区间\([0,1]\)，想了几天，没有得到结果。

Lwins_G

\[ f(x) = \left\{ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2} &,& x=0 \\ \frac{1}{3} &,& x=1 \\ \frac{1}{n+2} &,& x = \frac{1}{n} \\ x &,& \rm else\end{eqnarray*} \right. \]

hujunhua

楼上的构造将0，1和埃及分数映射到埃及分数，构思简明而巧妙。其中第2段包含在第3段中，可以删去，写成\[f(x)=\left\{\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}&,&x=0\\\frac{x}{2x+1}&,&x=\frac{1}{n}(n\in N)\\x &,&\rm else\end{eqnarray*} \right.\]

我也仿此构造一个。设\(\{a_i\}\)是一个无重复项的纯小数序列，并且\(a_0=0,a_1=1,0<{a_i}<1(i>1), 当i\ne j时a_i\ne a_j\),则函数\[f(x)=\left\{\begin{eqnarray*}a_{i+2}&,&x=a_i\\x &,&\rm else\end{eqnarray*} \right.\]建立了[0,1]到(0,1)的一一映射。

hujunhua

想简单地通过连续函数f(x)在一个开区间和一个闭区间之间建立一一映射是不可能的。
既然是一一映射，f(x)就是可逆函数，再加连续条件的话，它就必须是严格单调的，因此两个区间的首尾必定映射到首尾。
但是开区间实际上是没有首尾的，因此闭区间的首尾没有映像，即f(x)在闭区间的两端没有定义。

拓扑映射不改变点集的开闭性。