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楼主: 无心人

[转载] 数学奥林匹克升级题

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发表于 2017-11-24 20:54:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2017-11-24 20:57 编辑

01-10.眼花缭乱:正方形的各边9等分,过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线,
              在这个图中有三角形和梯形的个数分别是多少?如果n等分它们的该数分别又是多少?
        我只能回答第1个问题。在这个图中三角形的个数是640个,梯形的个数是5520个。
        第2个问题。如果n等分,有规律吗?。
               三角形的个数依次是11,31,67,123, 204,  314,  458, 640......
                 梯形的个数依次是11,65,212,524,1090,2022,3448,5520......
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-11-26 17:26:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2017-11-26 17:28 编辑

01-10.眼花缭乱:正方形的各边9等分,过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线,
              在这个图中有三角形和梯形的个数分别是多少?如果n等分它们的该数分别又是多少?
        我只能回答第1个问题。在这个图中三角形的个数是640个,梯形的个数是5520个。
        第2个问题。如果n等分,有规律吗?。
               三角形的个数依次是11,31,67,123, 204,  314,  458,  640,  865,  1425,......
                 梯形的个数依次是11,65,212,524,1090,2022,3448,5520,8405,12295,......
       这两串数我又加了2个(我是手工算的,算了2天)。很可能已经错了,不敢往前走了。有规律吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-12-1 21:07:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2017-12-1 21:08 编辑
王守恩 发表于 2017-11-26 17:26
01-10.眼花缭乱:正方形的各边9等分,过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线,
           ...

三角形的个数依次是11,31,67,123, 204,  314,  458,  640,  865,  1137, 1461, 1841 ,......
梯形的个数依次是11,65,212,524,1090,2022,3448,5520,8405,12295,17396,23940,......
      求助: 这两串数有规律吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-12-8 12:19:13 | 显示全部楼层
到处瞎逛 发表于 2009-5-26 19:24
03-1.求出Fibonacci 小数的和是多少?第n个Fibonacci 小数是把第n个Fibonacci数右移n位所得的数,如下所示:
...

……满满的回忆
https://zhidao.baidu.com/question/64186403.html
小时候被这题折磨得好惨好惨……
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-12-8 12:40:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2017-12-8 12:58 编辑

03-6 胡乱玩一下好了
记$f(n)=\frac n{a(n)}$
$$f(1)=1,f(n)=1000$$
我们希望找到m使得$f(m)=500$
我们有:
$$f(n)<f(m)<f(1)$$
……直接证不方便,我们可以用反证法,如果不存在m使得$f(m')=500$
那么对任意$n$,$f(n)<500$
显然对k=1的情况,当$n<500*k$时有$f(n)<500$
下设当k=s的情况,当$n<500*k$时有$f(n)<500$,此时$\frac n{a(n)}<500$,取n=500*k-1有$\frac {500k-1}{500}<a(500k-1)$
从而$a(500k-1)>k-\frac {1}{500}$,$a(500k-1)\ge k$
对k=s+1的情况,注意到$f(500*s-1)<500$,可以推得$a(500*s-1)\ge s$
由反证法假设,$a(500*s)\ne s$从而$a(500*s)\ge s+1$
从而对$n<500*k$,$f(n)=\frac n{a(n)}\le\frac{500k-1}{a(500s)}=\frac{500(s+1)-1}{s+1}=500-\frac{1}{s+1}$
即有$f(n)<500$
由归纳原理,不存在m使得$f(m')=500$,那么对任意$n$,$f(n)<500$#
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-12-14 17:29:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2017-12-14 17:32 编辑
王守恩 发表于 2017-11-24 20:54
01-10.眼花缭乱:正方形的各边9等分,过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线,
           ...


01-10.眼花缭乱:正方形的各边9等分,过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线,
              在这个图中有三角形和梯形的个数分别是多少?如果n等分它们的该数分别又是多少?
        第1个问题。在这个图中三角形的个数是640个,梯形的个数是5520个。
        第2个问题。如果n等分,有规律吗?。
               
三角形的个数依次是2,11,31,67,123, 204,  314,  458,  640,  865,  1137, 1461, 1841 ,......
2=1×2
11=1×2+3×3
31=1×2+3×3+4×5
67=1×2+3×3+4×5+6×6
123=1×2+3×3+4×5+6×6+7×8
204=1×2+3×3+4×5+6×6+7×8+9×9
314=1×2+3×3+4×5+6×6+7×8+9×9+10×11
458=1×2+3×3+4×5+6×6+7×8+9×9+10×11+12×12
640=1×2+3×3+4×5+6×6+7×8+9×9+10×11+12×12+13×14
865=1×2+3×3+4×5+6×6+7×8+9×9+10×11+12×12+13×14+15×15
.........
    第2个问题。如果n等分,有标准答案吗?

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-2-21 11:39:32 | 显示全部楼层
这个帖子4-,5-系列的问题没有后续讨论真是可惜
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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