数学奥林匹克升级题

mathe

原帖由 无心人 于 2009-1-20 23:27 发表
01-2结论可能是否定

计算了100项没有该序列
计算了1000项也没该序列
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不过好像能证明这个序列任意相邻四项可以是任何组合？？
所以似乎不能轻易否定的

你只要在计算的时候看看是否出现了周期就可以了。
当然用数学的方法也可以计算出周期。
至于说是否任何组合都可以出现，这个无法保证。

无心人

呵呵， 是的， 我在想可能是上面的计算项太少了

我想计算10万项， 并得到叠加的4数组合

gxqcn

原帖由 无心人 于 2009-1-21 08:28 发表
01-4 如果限定只经过黑色方格

                   我想只有经过一个白色格子的中心，而圆经过该白色格子的四个顶点一种情况

你说的是下图的橙色圆，还可以更大的，如红色圆：

无心人

Prelude> let q = take 10000 \$ iterate (\(i, x,y,z,w)->(i + 1, y,z,w,(x+y+z+w) \`mod\` 10)) (1, 1,9,8,2)
Prelude> filter (\(i, x, y, z, w) -> (x == 3) && (y == 0) && (z == 4) && (w == 4)) q
[(1557,3,0,4,4),(3117,3,0,4,4),(4677,3,0,4,4),(6237,3,0,4,4),(7797,3,0,4,4),(9357,3,0,4,4)]

确实进入了循环
而且存在3,0,4,4

无心人

Prelude> let q = take 10000 \$ iterate (\(i, x,y,z,w)->(i + 1, y,z,w,(x+y+z+w) \`m
od\` 10)) (1, 1,1,1,1)
Prelude> filter (\(i, x, y, z, w) -> (x == 3) && (y == 0) && (z == 4) && (w == 4
)) q
[]
Prelude> let q = take 20000 \$ iterate (\(i, x,y,z,w)->(i + 1, y,z,w,(x+y+z+w) \`m
od\` 10)) (1, 1,9,8,3)
Prelude> filter (\(i, x, y, z, w) -> (x == 3) && (y == 0) && (z == 4) && (w == 4
)) q
[]
Prelude> let q = take 10000 \$ iterate (\(i, x,y,z,w)->(i + 1, y,z,w,(x+y+z+w) \`m
od\` 10)) (1, 1,1,1,3)
Prelude> filter (\(i, x, y, z, w) -> (x == 3) && (y == 0) && (z == 4) && (w == 4
)) q
[]
Prelude> let q = take 100000 \$ iterate (\(i, x,y,z,w)->(i + 1, y,z,w,(x+y+z+w) `
mod\` 10)) (1, 1,9,8,3)
Prelude> filter (\(i, x, y, z, w) -> (x == 3) && (y == 0) && (z == 4) && (w == 4
)) q
[]

但别的数字就不出现3,0,4,4了

mathe

好像周期是10吧？

无心人

这个问题一定存在不变量， 关键是找到该序列的特点

无心人

周期是1560啊

无心人

TO 80#
GxQ是如何画的图？

kenmark

1-2设b0=1982
f(x) = x各位数字之和的个位数+x%1000*10
bn=f(bn-1)
可以得知，确定了bn必定唯一确定bn+1，同时可以证明确定了bn可以唯一确定bn-1
由于所有bn均为四位数（最多10000个），从而从b0出发必然经过有限步k1,k2使得bk1=bk2
bk1...bk2形成一个自封闭的循环数列
由于bn确定能够唯一确定bn-1和bn+1从而判定b0属于这个循环数列，易知b-4=3044

f就是将四位整数映射成一个个循环数列