连续n个平方数的和仍然是一个平方数

manthanein

设第一个平方数为\(x^{2}\),则最后一个平方数为\((x+n-1)^{2}\), 它们的和为\(y^{2}\)，则有：
\(n x^{2}+n(n-1)x+{\dfrac 16}n(n-1)(2n-1)=y^{2}\)
问题等价于解决这个不定方程
当n=2的时候，肯定是有无数组解的。
其他情况呢？
目前已知：
1^2+2^2+3^2+……+24^2=70^2

manthanein

\(6n x^{2}+6n(n-1)x+n(n-1)(2n-1)=6y^{2}\)
\(6n x^{2}+6n(n-1)x+n(n-1)(2n-1)-6y^{2}=0\)
将其视作关于x的一元二次方程。
\(\Delta=36n^{2}(n-1)^{2}-24n[n(n-1)(2n-1)-6y^{2}]\)
\(=36n^{2}(n-1)^{2}-24n^{2}(n-1)(2n-1)+144ny^{2}\)

所以判别式是12的倍数，
由于必然有\(\Delta=k^{2}\)，从而k是6的倍数
令k=6u，
\(\Delta=36u^{2}\)
\(36u^{2}=36n^{2}(n-1)^{2}-24n^{2}(n-1)(2n-1)+144ny^{2}\)
\(3u^{2}=3n^{2}(n-1)^{2}-2n^{2}(n-1)(2n-1)+12ny^{2}\)

manthanein

\(3(n-1)^{2}-2(n-1)(2n-1)\)
\(=3(n^{2}-2n+1)-2(2n^{2}-3n+1)\)
\(=(3n^{2}-6n+3)-(4n^{2}-6n+2)\)
\(=-n^{2}+1\)

manthanein

\(3u^{2}=n^{2}(1-n^{2})+12ny^{2}\)

manthanein

若n为奇素数，用p代替n：
\(3u^{2}=12py^{2}-p^{2}(p^{2}-1)\)
等式右边是奇素数p的倍数。
若p=3
\(u^{2}=12y^{2}-24\)
从而u是6的倍数，令u=6v，
\(36v^{2}=12y^{2}-24\)
\(3v^{2}=y^{2}-2\)
\(y^{2}=3v^{2}+2\)
这是不可能的。所以n不等于3。

manthanein

当p不等于3时，等式右边是奇素数p的倍数。
所以u是p的倍数，令u=pv
\(3p^{2}v^{2}=12py^{2}-p^{2}(p^{2}-1)\)
\(3pv^{2}=12y^{2}-p(p^{2}-1)\)
从而\(12y^{2}\)是p的倍数，所以y是p的倍数，令y=pt
\(3pv^{2}=12p^{2}t^{2}-p(p^{2}-1)\)
\(3v^{2}=12pt^{2}-(p^{2}-1)\)
\(3v^{2}=12pt^{2}-p^{2}+1\)
\(p^{2}-12pt^{2}+3v^{2}-1=0\)
\(p^{2}-12pt^{2}+36t^{4}+3v^{2}-1-36t^{4}=0\)
\((p-6t^{2})^{2}+3v^{2}-1-36t^{4}=0\)
\((p-6t^{2})^{2}=36t^{4}-3v^{2}+1\)

manthanein

令\(p^{2}-1=12s\)
\(3v^{2}=12pt^{2}-12s\)
\(v^{2}=4pt^{2}-4s\)
从而\(v\)是偶数，令\(v=2m\)，
\(4m^{2}=4pt^{2}-4s\)
\(m^{2}=pt^{2}-s\)

wayne

x=1的情况下，答案只有两组。这个问题大概在五年前讨论过，论坛搜不出来，只能给一个官方链接了
http://mathworld.wolfram.com/CannonballProblem.html

manthanein

wayne 发表于 2015-10-25 11:02
x=1的情况下，答案只有两组。这个问题大概在五年前讨论过，论坛搜不出来，只能给一个官方链接了
http://ma ...

这是lucas猜想了，早就证明了。不过x不等于1的情况如何呢？

manthanein

原来有人研究过这个问题
http://www.thomasoandrews.com/math/squares.html
就是他的证明我还没细看