球面选点问题——菩萨的难题

lsr314

链接中的解，有7种走法都会得到7.96964这个结果

mathe

不只两种线路相等，而是多种线路相等。必然5个点有10个自由度，所以10条线路相等才能唯一确定其值。而从120条线路中选择10条线路的选择方案太多了。此外，我们还要考虑只有9条，8条线路相等外加部分偏导数为零的非边界条件，情况就更加复杂了

mathe

不过利用对称性猜测可以大大缩小搜素范围，比如n=5可以猜测赤道一个点，南北半球各两点纬度相同

mathe

n=5,
$(1，0，0),(x,y,y),(x,y,-y),(x,-y,y),(x,-y,-y)$
$x^2+2y^2=1$
$cos^-1(x)+cos^-1(y)=cos^-1(x^2)+{\pi}/2$
x=-0.45508986056222734130435775782246856962,y=0.62964006337488264835765447386082758188
距离和为8.5903111995327852879430659139021310836
其中x为方程$4x^4+4x^2-1=0$的根

mathe

n=5时赤道上3个点的情况的解也不错，但是比赤道上一个点情况差一些:
$(1,0,0), (-cos(s),sin(s),0),(-cos(s),-sin(s),0),(-cos(t),0,sin(t)),(-cos(t),0,-sin(t))$
分别得出t,s为0.45227844715119068206365839783097936072和1.3324788649850305102080097919555854413
距离和8.5689340194040814232265441572512552128
其中$cos(t)$满足方程$4x^4 - 2x^2 - 1=0$

mathe

n=6应该是${7\pi}/2$=10.995574287564276334619251841478260095,这时赤道上没有点，6个点加南北极构成正方体。而这时这个最值结果远远好于其他极值点。
类似我们可以猜测在n=10和n=18时，分别可以利用正20面体（12个顶点）和正12面体(20个顶点）构造出超好的结果

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n=5,当球面坐标分别是{2.25829, -1.13553}, {2.636,  0.761321}, {-2.67735, -0.812898}, {-2.29527, 1.08144}, {0, 0}时，L>8.66
对应的直角坐标是{-0.267581,0.57543,0.772839} {-0.633353,-0.603566,0.484326} {-0.614643,0.649413,-0.447746} {-0.311527,-0.584959,-0.748848} {1,0,0}

lsr314

这个问题由于起点和终点的相对位置已经确定，所以得到的结果往往是不对称的。如果把南极和北极去掉，那么结果会对称很多。不过，由于只有有限多种正多面体，其他的情况也不是完全对称的。

mathe

n=5我原先以为结果应该关于赤道平面对称，看来仅仅关于x轴对称。

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n=4,找到一个$L>8$ 的解：
球面坐标：{0, 1.92687}, {0.558558, 0.}, {-0.65444, -0.0976435}, {0, -1.92687}
直角坐标：{-0.348599, 0.937272, 0}, {0.84802, 0, 0.529964}, {0.78961, -0.0773462, -0.608715}, {-0.348599, -0.937272, 0}