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[讨论] 特殊分式不等式

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发表于 2016-7-1 15:49:43 | 显示全部楼层 |阅读模式

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`a,b,c>0`,且 `a+b+c=3`,求证 `\D\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant a^2+b^2+c^2`
求最简单的方法。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-7-1 22:10:58 | 显示全部楼层
就用你之前几个帖子经常提及的Jensen's inequality.  ^_^
$f(x) = 1/x^2-x^2$,  f(x) 是凹函数。那么 $ f(a)+f(b)+f(c) >= 3f(\frac{a+b+c}{3}) =3 f(1)  = 0$

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晕死。我需要反思自己了。最近几个帖子老是犯错误...  发表于 2016-7-2 10:06
有拐点在`x=\sqrt[4]{3}`处。  发表于 2016-7-1 23:59
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发表于 2016-7-2 10:10:04 | 显示全部楼层
初等解法技巧性太强。高等解法我也不好意思贴出来,

我好奇的是条件式子里给的数值$3$,往前一点点,目测 目标不等式仅仅在  $0< a+b+c <= 1/(3/(214+(9228493-16692 \sqrt{78})^(1/3)+(9228493+16692 \sqrt{78})^(1/3)))^(1/4) = 3.81202...$ 内成立,

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结论仅仅后的结论错误  发表于 2016-7-5 13:22
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发表于 2016-7-2 10:25:54 | 显示全部楼层
换种说法,如果目标不等式在 $a+b+c$ 随意给定的常值 都恒成立的话, 那么,我们只需用 各种常见的 有名的不等式变换 就足以解决问题。
否则,我们必须借用这个常值 做特定的运算,不然只有死路一条。

问题是我们怎么才能在初等数学的范畴内,判定目标不等式是在条件式的值域范围成立,还是在条件式的“人为主观指定”的边界范围(即值域的子集)才成立呢?
这好像是一个很矛盾的问题。

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最近不等式的题目挺多的,总结这种策略,形而上的思路还是很有必要的,避免被动的局面。

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发表于 2016-7-2 12:05:04 | 显示全部楼层
不妨设$a\le b\le c$于是对于$c\le 2$的情况,可以用切线法$1/{x^2}-x^2>=4(1-x)$证明
而对于$c>=2$,必然$ac<=1,b<=1$,于是$1/{a^2}+1/{c^2}-a^2-c^2+1/{b^2}-b^2=(a^2+c^2)(1/{a^2c^2}-1)+b^2(1/{b^4}-1)>=0$

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$a<=(3-c)/2, ac<=(3-c)c/2$,其中$2<=c<=3$,可以得出$ac<=1$  发表于 2016-7-5 19:17
@kastin使用二次函数呀  发表于 2016-7-5 13:24
`ac \leq 1`怎么得到呢?比如`c=2.5,a=0.8,b=0.2`.  发表于 2016-7-3 12:49
赞! mathe总是一气呵成啊  发表于 2016-7-2 14:22
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发表于 2016-7-2 14:14:59 | 显示全部楼层
根据排序不等式  `\D\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant \frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{c a}  = \frac{3}{a b c}`, 再根据`abc(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}) \leqslant (\frac{a+b+c}{3}) ^5 =1`(好像并不显然,但软件证实是对的, ),得到:

`\D\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant \frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{c a} =  \frac{3}{a b c}  \geqslant a^2+b^2+c^2`

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http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=8984&pid=63072&fromuid=1455  发表于 2016-7-14 17:39

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发表于 2016-7-2 14:46:24 | 显示全部楼层
\(因为a,b,c>0且a+b+c=3,故其中至少有一数不小于1,不妨令其为a=1+t,t\in[0,2)\\2-t=b+c\geqslant 2\sqrt {bc},故bc\le(1-\frac{t}{2})^2\\\D\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{1+t}+\frac{b+c}{bc}\geqslant \frac{1}{1+t}+\frac{2-t}{(1-\frac{t}{2})^2}=\frac{3}{1-\frac{t^2}{2+t}}\geqslant 3\\当且仅当b=c,t=0时取等,即a=b=c=1时取等 \)

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如果要按该思路进行,建议先证明二元情形,然后利用二元结论证明三元的。  发表于 2016-7-3 12:50
$1/a+1/b+1/c>=3$是很显然的,但是对于本题有什么作用呢?  发表于 2016-7-2 15:13
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发表于 2016-7-2 15:21:49 | 显示全部楼层
wayne在6#的问题即在条件$a+b+c=3$时证明$abc(a^2+b^2+c^2)<=3$
我们可以先用拉格朗日法分析一下,取目标函数
$abc(a^2+b^2+c^2)-L(a+b+c-3)$
分别对a,b,c求偏导得出
$(3a^2+b^2+c^2)bc=L,...$
记$S=a^2+b^2+c^2$,于是得出
$2a+S/a=2b+S/b=2c+S/c=L/{abc}$
于是得到$2a^2b-2ab^2=S(a-b)$,所以$(S-2ab)(a-b)=0$
由于$S=a^2+b^2+c^2>2ab$,所以得出$a=b$同理$b=c$
由此得出唯一极值点在$a=b=c=1$,而边界条件显然是a,b,c之一取0情况,不能取到最大值,所以唯一最大值在$a=b=c$时
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发表于 2016-7-2 16:54:48 | 显示全部楼层
如果对于n个数$x_1,x_2,...,x_n$记$M_k = ({x_1^k+x_2^k+...+x_n^k}/n)^{1/k}$,于是本题可以变化为对于$n=3$时的不等式$M_{-2}M_2<=M_1^2$
而wayne得出的不等式为$M_0^3M_2^2<=M_1^5$
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发表于 2016-7-2 16:57:34 | 显示全部楼层
另外我们有赫尔德不等式$\sum a_ib_i<=(\sum a_i^p)^{1/p}(\sum b_i^q)^{1/q}$,其中$1/p+1/q=1,p>0,q>0$
其中我们取$a_i=x_i^u,b_i=x_i^v$,代入可以得出$M_{u+v}<=M_{up}^{u/{u+v}}M_{vq}^{v/{u+v}},1/p+1/q=1,p>0,q>0$
另外稍微变换一下赫尔德不等式,可以得出在$p<0,q>0,1/p+1/q=1$时$\sum a_ib_i>=(\sum a_i^p)^{1/p}(\sum b_i^q)^{1/q}$,可以类似得出很多关于幂平均的不等式
不过本题中不等式很可能只适用于较小的n,那么就不能用赫尔德不等式得出了
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