三角形的心迹

creasson

\[\begin{array}{l}
A{\rm{: }}{f_{PA}}\mathop {PA}\limits^ \to   + {f_{BA}}\mathop {BA}\limits^ \to   + {f_{CA}}\mathop {CA}\limits^ \to   + {f_{DA}}\mathop {DA}\limits^ \to   = 0\\
B{\rm{: }}{f_{PB}}\mathop {PB}\limits^ \to   + {f_{AB}}\mathop {AB}\limits^ \to   + {f_{CB}}\mathop {CB}\limits^ \to   + {f_{DB}}\mathop {DB}\limits^ \to   = 0\\
C{\rm{: }}{f_{PC}}\mathop {PC}\limits^ \to   + {f_{AC}}\mathop {AC}\limits^ \to   + {f_{BC}}\mathop {BC}\limits^ \to   + {f_{DC}}\mathop {DC}\limits^ \to   = 0\\
D{\rm{:  }}{f_{PD}}\mathop {PD}\limits^ \to   + {f_{AD}}\mathop {AD}\limits^ \to   + {f_{BD}}\mathop {BD}\limits^ \to   + {f_{CD}}\mathop {CD}\limits^ \to   = 0
\end{array}\]
P点的平衡条件可由这四个方程相加得到,故不列出. 然后第一个方程乘向量\[\mathop {PA}\limits^ \to  \], 第二个乘\[\mathop {PB}\limits^ \to  \]...
应用余弦公式,再应用重心坐标距离公式,方程组变为四个不高于六次的多项式方程组, 可能无法求出显式解.

陈九章

厉害啊，creasson老师，您的方法确实可行，显示解应该可以求出，而能很复杂。如有空，请您用功能强大的符号软件试一下，或许会有意想不到的惊喜呢。祝您成功！

陈九章

打错字了。如果没有显式解，隐式解也可以。这个问题有物理背景，应该就是陈省身大师所认定的“好课题”。

creasson

陈九章 发表于 2017-8-26 07:19
打错字了。如果没有显式解，隐式解也可以。这个问题有物理背景，应该就是陈省身大师所认定的“好课题”。

你自己推导吧,这计算有点繁杂. 我只对能否求解感兴趣

陈九章

你有核武器（符号软件）都怕麻烦，我的小米加步枪，拉倒吧。呵呵

hujunhua

陈九章 发表于 2017-8-21 09:19
关于等力点的物理意义，2000年，我在东方数学论坛上发过一帖，供参考：

虽然未经计算，但我断言您的结论是错误的。

您说的位置应该是三个点电荷的静电场奇点，它不仅与诸电荷的位置有关，也与诸电荷的电量之比有关。
而三角形的等力点仅与三顶点位置有关。

陈九章

胡老师，您好！您的断言颇有道理。我1990年解决平面四点电荷在静电力作用下的平衡问题时，与您有同样的困惑与惊奇，故一直等到2005年才成文投稿。拙作《三角形等力点的物理意义》发表于《中学数学》(2006年第5期)。您有空就审阅一下。

陈九章

下面的问题非常有趣，欢迎数学星空、hujunhua、wayne、creasson、gxqcn等实力派专家赐教！

creasson

顶点三合力方向在球心与顶点连线上(球心的重心坐标可由四顶点给出), 由内积可列四个关于棱长的方程. 六条棱长, 指定半径情况下减为五个变量. 还差一个方程, 怎么回事

陈九章

wayne 发表于 2016-8-12 12:09
得空了，继续深入阅读wikipedia的解释。画出了 \(\triangle ABC\) 的第一等力点和第二等力点， 画图如下：
...

关于Apollonius圆和等力点，《近代欧氏几何学》上有详细介绍，我在1990年进行了推广：