介绍一个任意四边形的面积公式，谁会证明？

TSC999 · 发表于 2016-8-23 19:15:21

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下面这个是计算任意四边形面积的公式，很有趣。是莫斯科某个数学再教育机构的某教授提出的。
据说，如果使用机器证明的方法来证明这个公式，是非常困难的，所以这道题称为机器证明的 “俄罗斯杀手”。
任意四边形的面积公式.png

补充内容 (2016-8-26 09:30):
如果四边形有内切圆，则公式中的第二项为零。如果四边形有外接圆，公式可简化为 4 楼的形式。

TSC999 · 发表于 2016-8-23 19:17:57

经验证，这个公式完全正确，不用怀疑。

TSC999 · 发表于 2016-8-24 11:44:42

这个公式也适用于任意的凹四边形面积计算。

TSC999 · 发表于 2016-8-24 11:46:59

由这个公式，可以导出：圆内接四边形的面积公式也可以这样计算：

TSC999 · 发表于 2016-8-24 11:49:28

本帖最后由 TSC999 于 2016-8-24 11:52 编辑

当四边形的其中一条边的长度趋近于零时，四边形变为三角形，而面积公式的第二项趋于零，公式简化三角形面积公式。此公式可从另一角度证明如下：

kastin · 发表于 2016-8-24 13:15:20

TSC999 发表于 2016-8-23 19:17
经验证，这个公式完全正确，不用怀疑。

既然说机器证明基本不可能，那你又是如何验证其正确性的？
显然遍历所有可能的的四边形是不实际的，然而若只是检测有限个特例成立，仍无法排除存在反例的可能。

gxqcn · 发表于 2016-8-24 13:33:30

对于任意四边形，有面积公式：\[ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2{\phi}} \]其中，\(p=\dfrac{1}{2}(a+b+c+d), \\ \phi=\dfrac{1}{2}(\angle A + \angle C)=\dfrac{1}{2}(\angle B + \angle D) \)

葡萄糖 · 发表于 2019-7-25 12:08:27

[讨论] 一个复杂的四边形面积公式
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=8623
另见：刘培杰数学工作室出版的《数学奥林匹克与数学文化》

mathematica · 发表于 2019-8-1 15:31:58

这个问题很有意思，我证明不了

熬出头8l · 发表于 2020-8-6 19:40:19

在《圆》-田延彦一书中，给出了一些思路：先证明结论对圆外切四边形成立，再做一般四边形情形（注意此时要做一个周长与之相等且对应边平行的圆外切四边形）

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