正方体内的反射闭合光路

hujunhua

一个光子在一块正方体玻璃内发生 6 次全反射后能回到起点吗？如能，请确定一条合适的光线六边形。

答案是能，一条最简单的回路是Hugo Steinhaus首先发现的，光子在玻璃块的六个面上的着点依次是：
XOY面：(2, 1, 0), 对面 (1, 2, 3)
XOZ面：(1, 0, 1), 对面 (2, 3, 2)                  不用说，玻璃块的棱长为3，见下图左。
YOZ面：(0, 1, 2), 对面 (3, 2, 1)

Hugo Steinhaus回路

四等分点回路

Hugo Steinhaus回路的各边是等长的，容易证明等边回路只此一种。
由于对边总是平行的，令三组对边相等应能得到一种稍宽泛的回路。通过简单的计算推导，得知这种等对边回路在各面的着点依次为：
XOY面：(a+b, b, 0), 对面 (c, a+c, a+b+c)
XOZ面：(a, 0, b),     对面 (b+c, a+b+c, a+c)     玻璃块的棱长为 a+b+c.  a=b=1,c=2的实例见上图右。
YOZ面：(0, a, a+b), 对面 (a+b+c, b+c, c)

我们的问题是：是否存在更一般的、对边不相等的回路？如果存在，请给出一条。

wayne

一般化的话，本质上就是一个高阶函数。是一个单值函数的五次自调。这个用Mathematica来玩会具有非常好的即视感。

===
只是这个单值函数其实是含有5个决策分支， 连续五次，就会产生5^5 = 3125个分段函数。虽然在数学表达上不太优雅，但是对于计算机程序来说，也是很轻松的。

hujunhua

Hugo Steinhaus回路正好是椅形构象环己烷的碳链形状。不只是粗略相似，而且C-C-C的角度正好是这样的。

wayne

hujunhua 发表于 2016-10-13 09:51
Hugo Steinhaus回路正好是环己烷的碳链形状。不只是粗略相似，而且C-C-C的角度正好是这样的。

环己烷有两种空间结构：椅型构象，船型构象。

https://zh.wikipedia.org/wiki/环己烷构象

环己烷构象主要研究环己烷及其相关衍生物的构象，是构象分析的重要内容。

历史背景[编辑]
很早就有人提出环己烷可能不是平面型结构。1890年，德国人赫尔曼·萨克森（Hermann Sachse）提出通过折纸来构建环己烷“对称”和“非对称”结构（即现椅型和船型结构）的方法，从他的文章可以感受出，他已经知晓这些构象有两种不同的氢原子（即现直键氢和平键氢）以及两种椅型结构可能会相互转化，甚至还意识到两种椅型结构的分布可能受环上某些取代基的影响。不过他的文章没有获得化学家的足够重视，一方面是文章的数学成分太多，难以理解，另一方面则是他的文章没有发表到主要的期刊上。1893年仅31岁的萨克森去世，他的研究也就此结束。直到1918年恩斯特·摩尔（Ernst Mohr）用新问世的X射线晶体学技术测定金刚石结构时，才发现所得结构中的基础结构单元正是萨克森预测过的椅型结构，才使环己烷构象研究重新进入焦点之中。[1][2][3]

wayne

打算编写一个程序。思路：
1）元素的表达
光线：即空间直线，用 一个点一个向量表示。（直线上的一点，直线的切向量），  
反射平面：即正方体的六个面，分别用一个点加上一个法线（平面上的一点，平面的法向量）
2）关系表达
反射：反射线 和 入射线均在 反射面所在的 法平面上，而且入射角等于反射角
3）迭代过程
给定初始条件是正方体最下方的平面上的一个点，以及该点出发的一个向量，
迭代五次，每次产生5个分支，总共 5^5 = 3125 个 约束表达式

zeroieme

多重反射，为什么不使用镜像对称原理。

真实起点和镜像看作分布空间的点。因为是正方体，这些点是整齐排列在平行坐标轴的直线上的。
令正方体边长是1，真实起点是(a,b,c)，(x=1)面的镜像是(2-a,b,c)，下一个镜像是(a+2,b,c)，光路是YZ面两镜子各反射一次。
于是问题转化为确定a、b、c的范围，使点(a,b,c)到点(a+2,b+2,c+2)的连接线段能避开(2-a,b,c)、(a,2-b,c)、(a,b,2-c)……（*没开计算软件，就不穷尽了*）

mathe

出发点我们总可以假设左平面，那么第二个点可以分为两种
i)右平面， 于是第三个点上下前后任意一个都类似，我们不妨设第三个点在后面。
ii)上下前后中任意一个都类似，我们不妨设为后面，它的第三个点位置可以分为三类
  ii.i) 右面
  ii.ii)前面
  ii.iii)上或下，不妨设为上
其中i)和ii.i)都使用了左右后面，余下步骤可以一起分类，根据余下面出现不同顺序都6类，共12类
ii.ii)使用了左前后，第四个面有两种选择，其中一种选择最后两面对称，所以共3类
ii.iii)使用了左后上，后面三面选择有6种，所以总共需要分析21种不同情况即可

mathe

我们应该想象一个魔方形状的立方体，开始在某个小方块的某个面上向另外一个面射出光线，在这个面上现在是部分反射，但是还会有部分光线保持直线透射过去，到了另外一个立方体。
我们容易看出，如果光线最终回到开始点，那么对应到原题中相当于一直保持直线的光线最后会到达另外一个小方块的相同位置。
所以现在方法比较简单了，我们需要找一些扩展魔方，连接两个不同小方块某一个面的对应位置，如果正好和小立方体的面相交5次，就可以拿来判断了（当然还需要排除是否各个方向的面都相交两次，多出一次算在开始或结束面上）

mathe

另外由于这条直线假设开始是从一个左面出发，那么必然穿过一个垂直x轴的面和两次穿过垂直y轴和z轴的面。
也就是我们只需要从魔方左下前小方块的左面上一个点向右上后小方块左面上同一个点连线，就构造出一个解。
平移这条线可以得出所有解（正好两个自由度）。
而显然这个图具有对称性，所以胡说是成立的

mathe

容易看出所有合法光线是平行的（(1,1,1)方向），而显然同那个唯一垂直x轴的面的交点和开始面上的点的位置是相同的，所以胡说成立