快速确定θ/n的三角函数符号

manthanein

在我们知道cosθ和sinθ的符号的情况下，给定n，如何快速确定cos(θ/n)和sin(θ/n)的符号？
为方便起见，先考虑n为正整数的情况。
如果cosθ和sinθ的值已知确定，那么结果的符号会不会有所改变？

gxqcn

令 \(\theta = 2(kn+b)\pi+\alpha\)，其中 \(k,b\in\ZZ, b\in[0,n),\alpha\in[0,2\pi)\)，
则 \(\D\frac{\theta}{n}=2k\pi+\left[2\left(\frac{b}{n}\right)\pi+\frac{\alpha}{n}\right]\)
当已知 \(\sin\theta\) 及 \(\cos\theta\) 时，可确定 \(\alpha\)；\(\D2\left(\frac{b}{n}\right)\pi\) 的可取值：\(\D\left\{0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots,\frac{n-1}{n}\right\}\times2\pi\)，
故当 \(n\gt1\) 时，\(\sin\left(\sfrac{\theta}{n}\right)\) 及 \(\cos\left(\sfrac{\theta}{n}\right)\) 的符号不确定。

sheng_jianguo

如果cosθ和sinθ的值已知确定，那么结果的符号有可能会改变。
如cosθ=-1/2，θ=120°，n=2，cos(θ/n)=1/2
如sinθ=-1/2，θ=210°，n=2，cos(θ/n)>0

wayne

如果我们稍微对楼主的问题做一下 等价变换，那么问题就变的简单多了

在我们知道cosθ和sinθ的符号的情况下，给定n，如何快速确定cos(θ/n)和sin(θ/n)的符号？

等价于 已知n，以及 θ 所在的象限，求θ/n 所在的象限。  所以 结论是不能确定

如果cosθ和sinθ的值已知确定，那么结果的符号会不会有所改变？

等价于已知n，以及θ的值，求θ/n 所在的象限。 所以结论是能确定θ/n的值，即 能确定θ/n 所在的象限，但其象限不一定是 θ 所在的象限

mathe

对于$n>=4$，必然四个象限都有符合条件的解

wayne

确实。 如mathe所言，不是不能确定。而是 n>=4时，确定4个象限都有符合条件的解。

zeroieme

复数cosθ+sinθ i的开n次方，有n个方根…………