一道有趣的数论题目

Sirius

已知x，y，z均为正整数，且x/y+y/z+z/x为整数，证明xyz三个数的乘积为立方数。

hujunhua

直接用因子分析就行了吧。
由于齐次，不妨令Gcd(x,y,z)=1.
设a=Gcd(y,z), b=Gcd(z,x), c=Gcd(x,y)，则a,b,c两两互素.
再设x=bcX, y=caY, z=abZ, 则X, Y, Z两两互素，并且Gcd(a,X)=Gcd(b,Y)=Gcd(c,Z)=1.
于是x/y+y/z+z/x=bX/aY+cY/bZ+aZ/cX, 右边三项全是既约分数.
设m=x/y+y/z+z/x, 化为整式即
XXbbcZ+aXYYcc+aabYZZ=mabcXYZ
取模aY得aY|cZ, 故a|Z, Y|c
取模bZ得bZ|aX, 故b|X, Z|a
取模cX得cX|bY, 故c|Y, X|b
综上可得 a=Z, b=X, c=Y
于是x=bbc, y=cca, z=aab, xyz=(abc)^3

Sirius

非常感谢

hujunhua

从2楼的过程来看，x,y,z不拒负数，命题照样成立。方程最后化成了\[x^3+y^3+z^3\equiv0\pmod{xyz}\]倒是挺有趣的一个丢番图方程。若能求出通解来，或可用来证明n=3的费马大定理。

hujunhua

方程\[x^3+y^3+z^3\equiv0\pmod{xyz}, \\\gcd(x,y,z)=1,xyz>0\]有 4 个平凡解(±1,±1,±1), 两种部分解, 一是 `x+y+z=0` 者，二是`\{1, -1, z\}`。
在`1\le|x|<|y|<|z|\le100`范围内，除上述三者外，还有以下特解
{ 1,     2,    3},        { 1,    2,    9},        {   1,     3,  14},        {   1,    5,    9},        {   1,     5,  14},
{ 1,   14,  45},        { 1,  14,  61},        {   1,   35,  54},        {   2,    3,    7},        {   2,     7,  13},
{ 2,     7,  27},        { 2,    9,  67},        {   2,   13,  21},        {   2,  13,  63},        {   2,   21,  31},
{ 2,   27,  97},        { 2,  31,  43},        {   2,   43,  57},        {   2,  57,  73},        {   2,   73,  91},
{ 3,     7,  74},        { 5,    7,  18},        {   5,     7,  78},        {   5,    9,  61},        {   5,   18,  37},
{ 9,   13,  38},        { 9,  13,  77},        {   9,   38,  91},        { 13,  42,  95},        {  -1,   -2,    9},
{-1,   -3,    7},        {-1,   -3,  28},        {  -1,   -4,  13},        {  -1,   -4,  65},        {  -1,   -5,  21},
{-1,   -6,  31},        {-1,   -7,  43},        {  -1,   -7,  86},        {  -1,   -8,  57},        {  -1,   -9,  73},
{-1, -10,  91},        {-1, -19,  49},        {  -1, -26,  81},        {  -1, -27,  37},        {  -1, -31,  56},
{-1, -31,  98},        {-1, -36,  97},        {  -2,   -3,  35},        {  -2,   -7,  39},        {  -2, -13,  45},
{-3,   -4,  91},        {-3,   -5,  38},        {  -4,   -9,  61},        {  -5,   -7,  52},        {  -7,   -8,  95},
{-7,   -9,  67},        {-9, -31,  70},        {-13, -14,  61},        {-14, -19,  97},        {-19, -21,  52}
{-1,    2,   -7},        {-1,    3, -26},        {  -1,    4,   -7},        {  -1,    4, -63},        {  -1,    7, -19},
{-1,    7, -38},        {-1,    9, -14},        {  -1,    9, -26},        {  -1,    9, -56},        {  -1,  13, -36},
{-1,  16, -63},        {-1,  19, -27},        {  -1,  26, -95},        {  -2,    3, -19},        {  -2,    5, -13},
{-3,    4, -37},        {-3,    7, -79},        {  -4,    5, -61},        {  -4,    7, -31},        {  -5,    6, -91},
{-5,    8, -43},        {-6,  19, -91},        {  -7,  10, -73},        {  -7,  37, -78},        {  -8,  11, -91}
{ 1,   -2,   -7},        { 1,   -3, -13},        {   1,  - 4,   -9},        {   1,   -4, -21},        {   1,   -5, -31},
{ 1,   -6, -43},        { 1,   -7,   -9},        {   1,   -7, -18},        {   1,   -7, -57},        {   1,   -8, -73},
{ 1,   -9, -13},        { 1,   -9, -28},        {   1,   -9, -52},        {   1,   -9, -91},        {   1, -13, -61},
{ 1, -16, -65},        { 1, -18, -49},        {   1, -28, -81},        {   1, -37, -63},        {   1, -37, -84},
{ 1, -45, -76},        { 2,   -7, -67},        {   3, -13, -14},        {   3, -13, -35},        {   3, -14, -19},
{ 4,   -7,   -9},        { 4,   -7, -93},        {   4,   -9, -19},        {   5, -62, -63},        {   7, -39, -76},
{ 8, -63, -65},        { 9, -49, -74}

hujunhua

假定上述方程有一个解`(x_1,y,z)`, 那么`x_1`是关于 `x` 的一个一元三次方程\[x^3-(myz)x+(y^3+z^3)=0\]的一根。
该方程另外两根`x_2,x_3`若是整数，那么`(x_2,y,z),(x_3,y,z)`也是原丢番图方程的解。
上楼列出100以内的解，就是试图从中找到具有这种衍生关系的三个解，并进一步看看这种衍生关系能生成多大一棵三叉树。
俺粗粗目测了一下，还没发现一组，或许应该编个程序搜索一下。编程非我所长，这个搜索程序得费点心思了。
由于`x_1+x_2+x_3=0`, 所以俺在目测时也没忘了从 (-x,-y,-z)中扒拉 ，并且也没漏了那两种部分解。

Sirius

不知命题推广是否都成立，
已知a1，a2，a3,....an均为正整数，且a1/a2+a2/a3+a3/a4......an/a1为整数，证明a1a2a3....an这n个数的乘积为n次方数。