切线的截距之和

manthanein

平面上有一条参数曲线：\(x=\phi(t), y=\psi(t)\)，\(t\)的定义域另外指定。
假设：
（1）曲线每一点都二阶可导。
（2）没有一点的切线水平、竖直或者为\(y=kx\)
求曲线上的点，使得切线在两个坐标轴上的截距之和取最值（最大、最小，截距可以是负数）。

hujunhua

我们知道，截距之和定常的曲线是具有以下参数方程的抛物线：\[x=at^2,y=a(1-t)^2\]其截距之和为 `a`.
以此作为等高线，取不同的 `a` 构成梯度，参数曲线`(\phi(t), \psi(t))`与等高线相切的点即为驻点。

sheng_jianguo

\(x=\phi(t), y=\psi(t)\), 以下导数都是对 `t` 求导，为求简洁把 `(t)` 省略。
y 轴上的截距\(\D a=\psi-\frac{\psi'}{\phi'}\phi\)
x 轴上的截距\(\D b=\phi-\frac{\phi'}{\psi'}\psi\)
截距之和的导函数\(\D (a+b)'=(\psi'\phi''-\psi''\phi')\left(\frac{\phi}{\phi' ^2}-\frac{\psi}{\psi'^2}\right)\)
由驻点条件\((a+b)'=0\)可得\[\psi'\phi''-\psi''\phi'=0\]或者\[\frac{\phi}{\phi' ^2}-\frac{\psi}{\psi'^2}=0\]满足上述方程的参数 \(t_0\)所对应的`(\phi,\psi)`就是驻点，比较各驻点和边界值就找到最值点了。

hujunhua

1) \(\psi'\phi''-\psi''\phi'=0\)  对应于参数曲线上的曲率为零的点，比如拐点。
2) \(\D \frac{\phi}{\phi' ^2}-\frac{\psi}{\psi'^2}=0\)  对应于与2#所述抛物线的切点。

俺在2#推导驻点条件时把第1)式左边直接约掉了。