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楼主: zeroieme

[讨论] 泰勒展开后再代入反函数泰勒展开。结果有点迷糊。

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发表于 2016-12-21 11:50:07 | 显示全部楼层
ok,终于明白了。问题不是漂亮不漂亮了,而是对与错了。

在数学理论上$f(f^(-1)(x))=x$ ,还有  $f^(-1)(f(x))=x$并不是对任意区间都成立的。
所以,Mathematica的表现是可以理解的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2016-12-21 12:25:29 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2016-12-21 11:50
ok,终于明白了。问题不是漂亮不漂亮了,而是对与错了。

在数学理论上$f(f^(-1)(x))=x$ ,还有  $f^(-1)( ...

数学理论上$f(f^(-1)(x))=x$ ,但经过有限阶的泰勒展开就引进了“误差”,所以高于展开阶数的部分可以剔除。
Mathematica只是检验工具。

我的问题是:函数—逆函数两次泰勒展开在什么条件下能还原(剔除高于展开阶数的部分)。目前我看到只有原点可以。
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发表于 2016-12-22 11:09:06 | 显示全部楼层
嗯嗯,对于单值影射函数公式是恒成立的。
泰勒级数是函数在0处的展开。进行回环验证的时候,其实严谨的做法是应该把余项也加进来一块参与运算(使用无穷小相关的运算法则)。
然后,你会发现要想达到形式上的一致性,其实是要求函数存在初始值f(0) = 0

凡是不满足$f(0) = 0$ 这个关系的$f(x)$都不能  形式上"复原"
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