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[讨论] 喝水问题

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发表于 2017-2-13 13:45:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一水杯底部半径/r,顶部半径/R,高度/H,杯内有深度为/h的水,水杯倾斜多少水才会流出?
捕获123.PNG
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-2-15 20:44:05 | 显示全部楼层
思路:求斜切圆锥的椭圆方程与椭圆面积函数,通过这个面积函数积分出斜切圆锥的体积函数,减去正圆锥体积就是那个体积,等于左边体积解方程。分两种情况。水多与水少的情况
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 楼主| 发表于 2017-2-15 21:15:04 | 显示全部楼层
倪举鹏 发表于 2017-2-15 20:44
思路:求斜切圆锥的椭圆方程与椭圆面积函数,通过这个面积函数积分出斜切圆锥的体积函数,减去正圆锥体积就 ...

\(仅考虑水平面为椭圆情况,能否给出转角\theta表达式?\)
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发表于 2017-2-16 17:26:05 | 显示全部楼层
轴线与水平面夹角phi,半顶角theta,斜锥体积如果没有算错:-(1/6)*a^3*Pi*sin(phi)^3*sin(theta)*(sin(phi+theta)*cos(-phi+theta)+sin(-phi+theta)*cos(phi+theta))/(sqrt(-cos(phi)^2+cos(theta)^2)*sin(-phi+theta)*sin(phi+theta))
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发表于 2017-2-27 10:14:23 | 显示全部楼层
如果仅考虑水平面为椭圆的情况,那么此题就过于简单了,根据祖暅定理,切面就是一堆半轴线性递增的椭圆,所以切面函数S(h)=kπ*h^2;
对切面函数积分即为此时斜截圆台体的体积,h=(sinθ)^3*((R-r)^2+H^2)^(3/2)*k*π/3, 其中θ为贴角,就是桶下界面与地面的贴角,k是一个比例常数,根据R和r的值确定。
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