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[讨论] 6次方和 欧拉猜想

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发表于 2017-3-22 16:18:08 | 显示全部楼层 |阅读模式

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\(a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=f^6\)是否有整数解?有没有\(f<10^6\)的整数解?
如果考虑\(f<10^6\)的情况,如何设计算法求解?
如果\(\gcd(a,b,c,d,e,f)=1\),等式两边模7,可以得出的一个必要条件是:
\(7|a, 7|b, 7|c, 7|d\)
\(7^6|(f^6-e^6)\)
还能推出其他的限制条件吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-3-22 16:31:58 | 显示全部楼层
首先条件可以简化为$f -= e (mod7^6)$
然后两边模9,可以得出$f -= e(mod 3^5)$,或$f -= d (mod 3^5)$
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 楼主| 发表于 2017-3-22 18:48:40 | 显示全部楼层
两边模8,也可以得到类似条件
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 楼主| 发表于 2017-3-22 19:01:05 | 显示全部楼层
在考虑一些筛选方法。
初步想的是, 令\(m=a^6+b^6\), \(n=c^6+d^6\),
方程化为:    \(m+n=f^6-e^6\)
取`k`个模\(p_1,p_2,...,p_i,...,p_k\)来筛选`e,f`
\(m+n\equiv(f^6-e^6) \pmod{p_i}\)

这个筛选方法的效率取决于\((x^6 \pm y^6)\pmod{p_i}\)的散列程度,选取\(p_i\)非常关键.
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 楼主| 发表于 2017-3-22 19:12:30 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2017-3-22 16:31
首先条件可以简化为$f -= e (mod7^6)$
然后两边模9,可以得出$f -= e(mod 3^5)$,或$f -= d (mod 3^5)$

推不出$f -= e (mod7^6)$

如果能推出的话,计算量将大减
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发表于 2017-3-22 19:26:02 | 显示全部楼层
alt 发表于 2017-3-22 19:12
推不出$f -= e (mod7^6)$

如果能推出的话,计算量将大减


是的,$f -= e(mod 7)$条件错误,更不用说$f -= e(mod 7^6)$。
仅止于`f^6\equiv e^6 \pmod{7^6}, e\not\equiv0\pmod{7}`. 有以下分解式:\[f^6-e^6\equiv(f-e)(f+e)(f-34967e)(f+34967e)(f-34968e)(f+34968e)\pmod{7^6}\]而`\{\pm e,\pm34967e,\pm 34968e\}\equiv\{\pm e,\pm 2e,\pm 3e\}\pmod{7}`,可见不能得到条件$f -= e(mod 7)$
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 楼主| 发表于 2017-3-26 10:13:46 | 显示全部楼层
利用模7的条件,筛选\((e,f)\),\(10^6\)内大约有\(2*10^7\)对\((e,f)\)
利用模8和9的条件可以再筛选掉\(1/3\)
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 楼主| 发表于 2017-3-26 14:21:39 | 显示全部楼层
模31也可以得到一个过滤条件
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发表于 2017-3-27 09:31:25 | 显示全部楼层
alt 发表于 2017-3-26 10:13
利用模7的条件,筛选\((e,f)\),\(10^6\)内大约有\(2*10^7\)对\((e,f)\)
利用模8和9的条件可以再筛选掉\(1/ ...

再利用模8和模9的条件筛掉的不一定是`(e,f)`对。@mathe在2#时已经注意到了这一点。
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 楼主| 发表于 2017-3-27 17:58:53 | 显示全部楼层
可以排除\(\gcd(f,e)=2、3、31\)的情况,同时利用\(2^k, 3^k, 7^k\)为模来筛选\((f,e)\)
筛选后剩下\(590087\)个\((f,e)\)
下一步如何筛选还在考虑中,\((a^6+b^6+c^6+d^6) \mod P_i\) 一般情况下散列结果分布非常均匀,很难筛选。
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