找回密码
 欢迎注册
楼主: hejoseph

[讨论] 三内切圆问题

[复制链接]
 楼主| 发表于 2017-4-24 11:13:06 | 显示全部楼层
我得到最大最小的结论就是从内接正三角形推导的,开始作图也是用位似,后来也发现用等力点能简化作图。至于用边长表示半径那个公式我也试过推导,表达式太复杂了,还是作罢了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-4-24 11:16:37 | 显示全部楼层
另外有一个有点类似的问题,已知道 \(\triangle ABC\),求一点 \(P\),使 \(\triangle PAB\)、\(\triangle PAC\)、\(\triangle PBC\) 的内切圆半径相等,这个问题就没尺规作图法了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-4-24 11:29:41 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2017-4-23 18:30
各连线同时达到最短是怎么看出来的?


如下图所示,由于圆内接四边形的对角互补,所以HA'⊥BC、HB'⊥CA、HC'⊥AB必然同时达到。

--------------------------------------------------------------------------
@mathe下面补充证明图片中的命题“若△A'B'C'若是△ABC的一个内接正三角形,则三圆⊙AB'C', ⊙BC'A', ⊙CA'B'相交于ABC的第一等力点LH(1,1)”
首先,不论△A'B'C'是否正△,那三个圆总是交于一点H的,
故∠ABH=∠C'A’H,∠ACH=∠B'A'H                   (1)
其次,对于三角形的任意内点H,总有
∠BHC=∠A+∠ABH+∠ACH                                (2)
将(1)代入(2)得
∠BHC=∠A+∠A‘
同理,∠CHA=∠B+∠B‘, ∠AHB=∠C+∠C‘
所以如果△A'B'C'是正三角形,则H正好是LH(1,1).(按定义)。

点评

没有注意你断言在外部三角形固定(而不是正三角形)时,在正三角形移动时,还是有三个圆的交点固定,既LH(1,1).这个如何证明?你在另外一个链接里的其实是它的反命题  发表于 2017-4-24 19:58
@mathe 角B'HC'、C'HA'、A'HB'不变(A,B,C的补角)  发表于 2017-4-24 15:33
同时垂直没有问题,但是如何证明垂直的时候是最短的呢?  发表于 2017-4-24 11:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-4-24 11:46:41 | 显示全部楼层
hejoseph 发表于 2017-4-24 11:16
另外有一个有点类似的问题,已知道 \(\triangle ABC\),求一点 \(P\),使 \(\triangle PAB\)、\(\triangle  ...


可以不限于形内,那么将有四个实解,所以关于圆半径的方程至少是4次方程,很可能不能尺规作图。
无标题.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-4-24 12:23:57 | 显示全部楼层
但是对于等腰三角形,至少有一解可作(底外可作),其它三解就不知道了,得研究一下。如果形内亦可作,则应该全部四解可作。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-4-24 14:37:00 | 显示全部楼层

4.png
关于第一等力点,还有个相关问题:已知 \(\triangle ABC\),在其内部求一点 \(P\),使 \(\triangle PEF\)、\(\triangle PGH\)、\(\triangle PID\) 是边长相等的正三角形,且点 \(D\)、\(E\) 在 \(BC\) 上,点 \(F\)、\(G\) 在 \(AC\) 上,点 \(H\)、\(I\) 在 \(AB\) 上。
点 \(P\) 就是 \(\triangle ABC\) 的第一等力点。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-4-25 06:55:00 | 显示全部楼层


这个链接中选择角C最大,其实应该选择A最大,B最小,于是可以知道$\phi$是常数而且$0<\phi<={\pi}/6$,
$\phi<B/2$。
而对于变量$\alpha$,有$0<=\alpha<=\pi-B$
题目记$K=1/2(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt(3)\Delta$,然后有正三角形边长为
${2\Delta}/{\sqrt{K}\sin(\alpha+\phi)}$
于是最小值${2\Delta}/{\sqrt{K}}$,最大值${2\Delta}/{\sqrt{K}\sin(\alpha)}$,其中最大值在$\alpha=0$时也就是正三角形一边在三角形最大边BC上时取到
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-4-25 19:46:13 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2017-4-24 12:23
但是对于等腰三角形,至少有一解可作(底外可作),其它三解就不知道了,得研究一下。如果形内亦可作,则应 ...

看错了。即便对于等腰三角形,四解之中亦没有一个解尺规可作。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-4-27 15:01:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2017-4-27 15:13 编辑
hujunhua 发表于 2017-4-23 16:37
很好的简化!
又见三角形的内接正三角形,使我想起了三角形的等力点LH(1,1), 即@mathe楼上所说的那个 ...


找到了等力点,怎么做出三个两两相切的圆呢?

点评

对于主贴中的问题,最后还是得用位似投影法。  发表于 2017-4-27 15:32
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2024-3-29 14:05 , Processed in 0.046875 second(s), 18 queries .

Powered by Discuz! X3.5

© 2001-2024 Discuz! Team.

快速回复 返回顶部 返回列表