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[讨论] 定值问题

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发表于 2017-5-13 18:05:31 | 显示全部楼层 |阅读模式

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四边形 \(ABCD\) 中,\(AB=AD\),\(BC=CD\),四边形为凸或凹或退化为等腰三角形均可,\(2\angle EAF=\angle BAD\),\(2\angle ECF=\angle BCD\),直线 \(BP\)、\(BP\) 的交点 \(P\) 在四边形 \(ABCD\) 内部,求证:\(\angle BPD\)、\(AP/CP\) 均为定值,在已知 \(\angle BAD\)、\(\angle BCD\) 的情况下求出这两个定值。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-5-19 09:08:42 | 显示全部楼层
叶中豪的解法:
设 \(\angle BAD=2\alpha\),\(\angle BCD=2\beta\),不妨设 \(\alpha\leqslant\beta\),则
\[\angle ABC=\angle ADC=180^\circ-\alpha-\beta,\frac{AB}{BC}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha},\]
作点 \(F\) 关于 \(AC\) 的对称点 \(F'\),则点 \(E\)、\(F'\) 互为 \(\triangle ABC\) 的等角共轭点,由此得 \(\angle BPD\) 靠近点 \(C\) 那侧大小为
\[360^\circ-\angle ABC-\angle BCD=180^\circ+\alpha-\beta,\]
所以点 \(P\) 在过点 \(B\)、\(C\) 定角为 \(180^\circ+\alpha-\beta\) 的圆弧上。

另外,当点 \(E\) 为 \(\triangle ABC\) 的内心时,点 \(P\) 在 \(AC\) 内,由角平分线定理得此时
\[\frac{AP}{CP}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha},\]
由此可知点 \(P\) 在以点 \(A\)、\(C\) 为定点,定比为 \(\sin\beta / \sin\alpha\) 的阿波罗尼斯圆上,所以无论点 \(E\) 在任何位置,都必定有
\[\frac{AP}{CP}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}.\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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