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[求助] 这个高考题不等式如何证明?

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发表于 2017-7-3 09:17:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

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a*b*c=8
a b c都是正数
\[1<\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}+\frac{1}{\sqrt{c+1}}<2\]

如何证明?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-7-3 09:39:39 | 显示全部楼层
穷举法万岁!数值解万岁!mathematica万岁!

点评

从实用的角度,用lingo足够了  发表于 2017-7-3 16:51
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-7-3 13:43:07 | 显示全部楼层
记 `x=\ln a,y=\ln b,z=\ln c`,则 `x+y+z=3\ln 2`,考虑函数`\D f(u)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm e^u+1}}+ \frac{\sqrt{3}}{9}(u-\ln 2)`,原不等式于是等价为证明 `1 < f(x)+f(y)+f(z) < 2`
先令二阶导函数 `f''(u)=0`,得到拐点 `u=\ln 2`,从而导函数 `f'(u) \geqslant f'(\ln 2)=0`,这意味着 `f(u) ` 为增函数,且在 `(-\infty,\ln2]`内上凹,在`[\ln2,\infty)`内下凸。
利用http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 23&fromuid=8865的结论(注意mathe的结论是针对于先下凸后上凹,这里得反过来使用),或者https://artofproblemsolving.com/community/c6h64933的结论,可知 `x\to -\infty,y=z\to +\infty` 时,即 `a\to 0,b=c\to +\infty` 时逼近最小值 `1`,当 `x=y\to -\infty,z\to +\infty` 即 `a=b \to 0,c\to +\infty` 时逼近最大值 `2`.

点评

求驻点是最简单最通用的办法!  发表于 2017-7-4 13:42
@mathematica,你仔细看看链接吧,里面有取最大值和最小值的条件。  发表于 2017-7-4 12:09
逼近最小值1,逼近最大值2,这个不符合要求呀,因为你要是说逼近1还好,你要说逼近最小值1,那就默认了命题是成立的  发表于 2017-7-4 11:54
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-7-3 15:56:38 | 显示全部楼层
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点评

你的太复杂了,以致于我看不懂  发表于 2019-10-1 09:59
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-7-3 15:58:07 | 显示全部楼层
那个问题就是定理中的(2)的情形
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-7-3 16:45:01 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. f=1/Sqrt[1+a]+1/Sqrt[1+b]+1/Sqrt[1+c]+x*(a*b*c-8)
  3. fa=D[f,a]
  4. fb=D[f,b]
  5. fc=D[f,c]
  6. fx=D[f,x]
  7. out=NSolve[{fa==0,fb==0,fc==0,fx==0},{a,b,c,x},200]
  8. cc=(f/.out)
  9. RootApproximant[cc]
复制代码


根据代码结果,只在实数区域内有a=b=c=2的驻点
{{a -> -1.0000000000000000000 - 1.7320508075688772935 I,
  b -> -1.0000000000000000000 - 1.7320508075688772935 I,
  c -> -1.0000000000000000000 - 1.7320508075688772935 I,
  x -> 0.05296791160077942663 +
    0.014192709138191943341 I}, {a -> -1.0000000000000000000 +
    1.7320508075688772935 I,
  b -> -1.0000000000000000000 + 1.7320508075688772935 I,
  c -> -1.0000000000000000000 + 1.7320508075688772935 I,
  x -> 0.05296791160077942663 - 0.014192709138191943341 I}, {a -> 2.,
  b -> 2., c -> 2.0000, x -> 0.0240563}, {a -> 2., b -> 2.,
  c -> 2.0000, x -> 0.0240563}, {a -> 2., b -> 2., c -> 2.0000,
  x -> 0.0240563}, {a -> 2., b -> 2., c -> 2.0000, x -> 0.0240563}}

{1.611854897735312879 + 1.611854897735312879 I,
1.611854897735312879 -
  1.611854897735312879 I, 1.73205, 1.73205, 1.73205, 1.73205}

{Root[27 + #1^4 &, 4],
Root[27 + #1^4 &, 3], Sqrt[3], Sqrt[3], Sqrt[3], Sqrt[3]}

点评

机器始终是机器,太依赖软件自己永远不会思考。  发表于 2017-7-4 12:11
你求的是极值,不是最值。  发表于 2017-7-4 12:10
这个是用拉格朗日乘子法求解的  发表于 2017-7-3 16:46
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-7-4 13:41:09 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2017-7-3 13:43
记 `x=\ln a,y=\ln b,z=\ln c`,则 `x+y+z=3\ln 2`,考虑函数`\D f(u)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm e^u+1}}+ \f ...

函数的最大值最小值
必然在
区间端点\驻点\不可导点取的,
没有不可导的点,
所以先求的驻点,
然后再把无穷的边界点带入,
有一个是正无穷,有两个是正无穷,不可能三个正无穷
有一个正无穷,则取值2
有两个正无穷,则取值1
驻点的是a=b=c=2
值是根号3
所以是1~2
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-7-4 13:58:15 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. f=1/x+1/y+1/z+n*((x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)-8)
  3. fx=D[f,x]
  4. fy=D[f,y]
  5. fz=D[f,z]
  6. fn=D[f,n]
  7. out=Solve[{fx==0,fy==0,fz==0,fn==0},{x,y,z,n},Reals]
  8. FullSimplify[f/.out]
复制代码

换元法换一下,mathematica就能求解出解析解了

\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{3},y\to -\sqrt{3},z\to -\sqrt{3},n\to -\frac{1}{24 \sqrt{3}}\right\},\left\{x\to \sqrt{3},y\to \sqrt{3},z\to \sqrt{3},n\to \frac{1}{24 \sqrt{3}}\right\}\right\}\]

\[\left\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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