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[讨论] 试证明勾股数组之积是5的倍数

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发表于 2017-10-5 16:34:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知正整数a, b, c满足 a^2+b^2=c^2,试证明 5|abc.

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-10-5 18:43:49 | 显示全部楼层
不妨设a,b,c为本原勾股数组,通解为 \[a=m^2-n^2,\;b=4mn,\;c=m^2+n^2\]其中 `m>n, \gcd(m,n)=1`, 并且一奇一偶。
因为 对任意正整数`x`, 均有`x^5\equiv x\pmod5`
所以  `abc=4(m^5n-mn^5)\equiv4(mn-mn)=0\pmod5`
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-10-6 22:21:42 来自手机 | 显示全部楼层
a不是5的倍数,那么a^2除以5余数为1或4.同样结论对b,c也成立。组合后容易得出必然有5的倍数
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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