一道有关 a(n)/(n a(n) -2) 的 极限难题。 a(1) = 1, a(n+1)=log(1+a(n))

elim

定义 $a_1 = 1, a_{n+1} = \log(1+ a_n).$ 试证 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n a_n -2}=0$

mathe

归纳证明a_n>=1/sqrt(n)即可

elim

mathe 发表于 2017-10-9 08:17
归纳证明a_n>=1/sqrt(n)即可

a(2) = log(2) = 0.69214... < 1/sqrt(2) = 0.707106...

elim

$\lim_{n\to\infty} na_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\Delta n}{\Delta a_n^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n -a_{n+1}}{a_n a_{n+1}} = 2$

所以对充分大的 n 有 $\frac{1}{n} < a_n < \frac{1}{\sqrt{n}}$

mathe

设\(d_n=\frac{na_n-2}{a_n}\lt n\),于是\(a_n=\frac{2}{n-d_n}\),并且对于任意\(d\lt n\), 那么\(na_n-da_n\gt 2\)的充分必要条件是\(d\lt d_n\)。
于是\((n+1)a_{n+1}-d_n a_{n+1}-2=(n+1-d_n)\log(1+\frac{2}{n-d_n})-2\)
我们设\(f(x)=(x+1)\log(1+\frac{2}{x})\),于是\(f'(x)=\log(1+\frac{2}{x})-\frac{2(x+1)}{x(x+2)}<0\)
而\(f(+\infty)=2\),所以我们有\(f(x)>2\),于是\((n+1)a_{n+1}-d_n a_{n+1}=f(n-d_n)\gt 2\),所以得出\(d_{n+1}\gt d_n\)
同样如果我们能够证明对于\(g(x)=(x+1-\frac{1}{4x})\log(1+\frac{2}{x})\)，同样对于充分大的x有\(g(x)>2\),于是我们可以得出\(d_{n+1}\gt d_n + \frac{1}{4(n-d_n)}\),由此必然有\(\lim_{n->+\infty}d_n=+\infty\)
由于\(g(+\infty)=2\),我们只要证明对于充分大的x有\(g'(x)\lt 0\),也就是\((1+\frac{1}{4x^2})\log(1+\frac{2}{x})\lt (x+1-\frac{1}{4x})(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})\)
或者写成\(\log(1+\frac{2}{x})\lt \frac{8x^2 + 8x - 2}{4x^3 + 8x^2 + x + 2}\)做变量代换$t=2/x$得到对于充分小的正数t要求\(h(t)=\log(1+t)- \frac{-t^3 + 8t^2 + 16t}{t^3 + t^2 + 16t + 16}<0\)
由于\(h(0)=0\),只要证明对于充分小的t,有\(h'(t)<0\)即可。其中\(h'(t)=-\frac{t^2}{8}+O(t^3)\)，所以成立
或者更加精确我们可以计算出\(h'(t)=\frac{t^5 + 10t^4 + 96t^3 - 32t^2}{t^6 + 2t^5 + 33t^4 + 64t^3 + 288t^2 + 512t + 256}\)
于是得出$0<t<0.322...$时$h(t)<0$或者$x>3.11$时必然有$g(x)>2$

kastin

可以归纳证明 `\D a_n>\frac{2}{n+1}`，然后设 `b_n=a_n-\frac{2}{n+1}`，找出 `b_n` 递推关系，利用对应微分方程求出近似解，从而得到 `a_n` 的高阶近似。再看是否能求得极限值。

如果上述方法不可行，那只有通过不等式夹逼来证明了。

elim

谢谢 mathe 的解答。由 \(\D\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{na_n-2}=0\) 可推出 \(\D\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\log n}=\frac{2}{3}\)

反之亦然.  后者是说 \(\D na_n -2 \sim \frac{2}{3}\log n^{\frac{1}{n}}\), 但 \(\D a_n\sim\frac{2}{n}\), 于是 \(\D\frac{a_n}{na_n-2}\sim\frac{3}{\log n}\)

mathe

参考:http://bbs.emath.ac.cn/thread-8790-1-1.html
定义\(b_n=\dfrac{1}{a_n}\),于是我们有近似式
\(\D b_{n+1}=b_n+\frac{1}{2}-\frac{1}{12b_n}+\frac{1}{24b_n^2}-\frac{19}{720b_n^3}+\frac{3}{160b_n^4}-\frac{863}{60480b_n^5}+...\)

kastin

elim 发表于 2017-10-10 02:08
谢谢 mathe 的解答。由 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{na_n-2}=0$ 可推出 $\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n- ...

这个 `2/3` 是怎么来的？不过确实很接近\[a_n\approx \frac{2}{n+1}+\frac{2}{3(n+1)^2}\ln \frac{n+2}{3}\]

mathe

利用链接中18#切换到本题可以计算出
$J(1/x)=x^-1 + 1 + 2x + 3x^2 + 8/3x^3 - 7/6x^4 - 139/15x^5 - 233/15x^6 + O(x^7)$
设$f(1/x)=1/{\log(1+x)}=x^-1 + 1/2 - 1/12x + 1/24x^2 - 19/720x^3 + 3/160x^4 - 863/60480x^5 + 275/24192x^6 +O(x^7),s(1/x)~ 1/{2x}+\sum_{k=0}^{\infty}P_k x^k$
于是我们要求$f(s(m))=s(J(m))$