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[转载] 3人玩游戏决定谁买单,这个游戏公平吗?

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发表于 2017-10-22 13:20:10 | 显示全部楼层 |阅读模式

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问题来自:
https://www.zhihu.com/question/67018671

问题标题:
3人聚餐后,想玩一个游戏来决定谁买单,这个游戏公平吗?
精华


问题描述:
3人先约定好谁当A、谁当B、谁当C,然后同时伸出手,每个人都只有手心朝上或者手背朝上2种选择,然后统计手心朝上的人数:0人或3人则A买单,1人则B买单,2人则C买单。
在任何2人都没有互相串通的前提下,这个游戏公平吗?如果不公平,哪方占优哪方劣势?

P.S.
此问题实为题主原创,只是题主在知乎上提问了之后,又想在数学研发论坛上提问,所以才标记为转载的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-10-22 16:14:10 | 显示全部楼层
A买单的概率为 `\frac 28`,B买单的概率为 `\frac 3 8`,C买单的概率为 `\frac 3 8`,所以A比较占优势。

点评

这个概率与大家都是随机乱出的结果相同。但每个人的最佳策略都是随机乱出吗?  发表于 2017-10-22 16:39
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发表于 2017-10-22 17:30:22 | 显示全部楼层
一般谈论公平与否的时候,我感觉是从大量平均的角度来看待的。也就是说,认为任何可能性都是均等的。当然,最佳策略不一定是随机选择策略。这个可以通过蒙特卡罗模拟,之前有个网站(https://www.sekai.co/trust/)就是通过模拟的方法研究了博弈游戏,叫做信任的进化,结论非常有意思。
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发表于 2017-10-22 19:49:31 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2017-10-22 16:14
A买单的概率为 `\frac 28`,B买单的概率为 `\frac 3 8`,C买单的概率为 `\frac 3 8`,所以A比较占优势。

在任何2人都没有互相串通. 毫无信息可以参考。那就按照各自的偏好来了。假设A,B,C三人各自打算出手心向上的概率分别是x,y,z. 则各自买单的概率是x,y,z的函数

$P_A(x,y,z) = (1-x)(1-y)(1-z) +xyz$

$P_B(x,y,z) = (1-y)(1-z)x + (1-x)(1-z)y + (1-x)(1-y)z$

$P_C(x,y,z) = (1-z)xy + (1-y)xz + (1-x)yz$

令 这三个函数 都相等,为$1/3$,发现无解。 所以如果三个人都遵循各自固定的概率 随机 出牌,将不可能公平。
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发表于 2017-10-23 10:39:36 | 显示全部楼层
对于A来说,由于手心手背是对称的,所以在没有和其他人预谋的情况下,手心手背都一样,正常情况他就会以各50%的概率随机出。
在此前提下,变化为
$P_A(y,z) = 1/2(1-y)(1-z) +1/2yz$
$P_B(y,z) = 1/2(1-z) + 1/2(1-y)z$
$P_C(y,z) = 1/2y + 1/2(1-y)z $
于是很有意思,对于B来说,对于C的任何策略,都应该y最大的时候$P_B$最小,于是他会选择y=1,得到$P_B=1/2(1-z)$;同样对于C来说,无论B怎么选择方案,他都是选择z=0时有最小买单概率$P_C=1/2y$,于是在双方互相不信任的前提下,B都选择手心向上(y=1),而C都选择手背向上(z=0),于是他们两败俱伤,各自需要有50%的概率买单而A坐收渔翁之利。
如果在游戏需要重复进行很多次或者B,C相互之间充分信任(但是有无法进行预谋)的情况下,比较明智的B和C要选择一种双方买单概率相同但是让A买单概率最大的情况,也就是B和C都以50%的概率选择手心和手背,那么这时A虽然还是占有优势(只有$1/4$概率需要买单),但是B和C合作以后可以将买单概率从$1/2$降低到$3/8$。

但是聪明的A可能不会满足$1/4$的买单概率,在游戏需要重复很多次时,他为了挑拨B,C的关系,可以连续出手心状态,也就是改变策略为x=1。
而这种改变下A自己的买单概率还是保留为$1/4$,而B惊喜的发现自己买单的概率也降低为$1/4$。
而可怜的C发现自己买单的概率上升为$1/2$后很可能火冒三丈而恢复到只出手背的策略(最主要的是怀疑A,B串通)。
此后只要A调整回随机策略,那么B必然发现自己买单概率急升而恢复到只出手心的策略来对抗。
而出现这种A可以掌控全局的情况的主要原因在于B,C以50%概率选择手心或手背的策略是不稳定的。

而在B,C为了能够获得最大利益,那么只要A不使用均匀概率,那么目标就应该让A最大概率买单,所以这时策略就是A估计出现不均匀策略时,B和C必须一致的对抗A,但是这会导致B,C两者之间费用严重失衡,正常情况很难维护下去。
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 楼主| 发表于 2017-10-26 21:35:17 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2017-10-23 10:39
而可怜的C发现自己买单的概率上升为$1/2$后很可能火冒三丈而恢复到只出手背的策略(最主要的是怀疑A,B串通)。


C应该不会这样做。C应该会发现是A在捣鬼,应该会变成只出手心去报复A,而不是只出手背去报复B。

然后A发现自己买单的概率上升为$1/2$,比$1/4$糟糕多了,于是恢复到随机策略。

然后C也恢复到随机策略,继续跟B合作。
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发表于 2017-10-26 21:59:57 | 显示全部楼层
为什么充分聪明的B和C不直接拒绝“游戏”呢
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-10-27 08:47:20 | 显示全部楼层
夜深人静了,一家背街的小餐馆,还有一间包厢的灯光透射出打在巷子里,
店小二打着哈欠,不止一次的进来问还要点什么,
桌上一片狼藉,餐盘交错,只剩杯酒未饮,
里面三人摆摆手,示意不需要,别打扰。

他们的目光不在酒桌上,却聚精会神地在做一件事:
同时伸出手来,掌心或向上或向下,收回再伸出,周而复始,
似乎在艰难地决定着什么:谁来喝这杯酒?或是谁去做先锋打头阵?

店小二把情况说与了老板。
等等,打什么头阵?该不会是坏淫吧?
作为朝阳区的群众,这点觉悟咱还是有的:报警吧。。。

喂,110吗?有三个人吃了一小时,手心手背了仨小时还没完,
不知想搞什么事情,期间还不时有人嚷着另外俩人有串通。。。
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发表于 2017-10-28 08:12:23 | 显示全部楼层
楼上很会讲故事,很有文采。
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发表于 2017-10-28 10:18:48 | 显示全部楼层
KeyTo9_Fans 发表于 2017-10-26 21:35
C应该不会这样做。C应该会发现是A在搞鬼,应该会变成只出手心去报复A,而不是只出手背去报复B。

然 ...

然后某人根据大家都趋于均匀随机性的规律,平地起波澜,然后又被对方识破固定的模式,大家又开始角逐。
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