数学研发网设为首页收藏本站

数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 102|回复: 3

[原创] 当道具所占比例达到多少时,就可以无限开路了?

[复制链接]
发表于 2017-11-14 12:33:13 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
我设计了一个简单的小游戏。

这个游戏是在一个无限大的地图上进行的。

一开始整个地图只有【道具】和【障碍】两种格子,而且两种格子是随机生成的(以$p$的概率生成【道具】,以$(1-p)$的概率生成【障碍】)。

一开始玩家持有的道具数量为$0$,然后玩家选择一个【道具】格子作为起点。

当玩家位于【道具】格子上的时候,玩家可以拾起该道具。

玩家每拾起$1$个道具,那么玩家持有的道具数量加$1$,然后格子里的道具消失,变成【空地】。

当玩家持有的道具数量大于$0$的时候,才可以进入【障碍】格子。

玩家每进入$1$个【障碍】格子,就会消耗掉$1$个道具,然后该障碍消失,变成【空地】。

玩家只能往上下左右$4$个方向移动,并且每次只能移动$1$格。

问道具所占的比例$p$至少是多少,玩家才可以无限开路?

-----

试玩了一下$p=1/8$,开路很轻松。

试玩了一下$p=1/16$,处处被困死。

试玩了一下$p=1/12$,依然处处被困死。

继续二分,试玩$p=1/10$,结果:

虽然每次都被困死,但我觉得这是我运气不好,于是不断重设地图重玩,

终于有一次开出了一条长达$500$多步的路径还没有被困死,而且已经攒了$132$个道具。

因此对于$p=1/10$基本上可以断定:玩家是可以无限开路的。

继续二分,试玩$p=1/11$,结果:

运气爆棚,第一局就直接开出了一条长达$500$多步的路径,而且已经攒了$100$个道具。

因此对于$p=1/11$基本上可以断定:玩家是可以无限开路的。

(休息一会再继续玩,从而进一步确定可以无限开路)

我现在怀疑之前尝试$p=1/12$的时候,是因为开路经验不足才导致被困死的。

现在我已经攒了$14$个小时的开路经验,开路技术比之前大大提升了。

于是重玩$p=1/12$,发现依然玩不开。

因此$p$的阈值在$(1/12,1/11)$区间里。

除了试玩,有什么办法可以判断玩家能否无限开路呢?

如何找到更准确的阈值呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-11-14 17:33:34 | 显示全部楼层
无限开路是怎么定义的。

点评

假设终点在起点上方$n$步,玩家的目标是走到终点,那么当$n->infty$时,玩家可以走到终点的概率的极限大于$0$。  发表于 2017-11-14 18:13
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-11-14 20:02:36 | 显示全部楼层
上面的点评依然不严谨,寥寥数语没法说清楚,于是回贴补充。

首先不存在【无限大的地图】,必需给定地图的确切大小,设为$(2n-1)\times(2n-1)$,$n$为正整数。

限定了地图的大小之后,玩家就不能随意设定起点了,起点必需位于第$n$行第$n$列,也就是地图的正中心。

如果第$n$行第$n$列是个障碍,那么这个地图无效,重新随机生成一张新的地图,直到新地图的第$n$行第$n$列是个道具为止。

地图确定之后,那么玩家能否走到地图的边缘是确定的:

有些地图存在可以走到边缘的策略,有些地图则不存在这样的策略。

(补充说明:地图是全开放的,每个格子是什么玩家都能看到)

于是我们就可以计算在第$n$行第$n$列是个道具的前提下,玩家在随机生成的地图上能走到地图边缘的概率,记为$P(n)$。

当$n->\infty$时,$P(n)$有一个极限值,记为$P(\infty)$。

当$P(\infty)>0$时,我们就说【玩家可以无限开路】,

当$P(\infty)=0$时,我们就说【玩家不能无限开路】。

#####

简单来说,就是玩家在随机地图上开路,一直都不会被困死的概率大于$0$。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|Archiver|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号  

GMT+8, 2017-11-24 08:11 , Processed in 0.240325 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.2

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表