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[原创] 猜猜乐游戏的最佳策略

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发表于 2017-11-19 10:42:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

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我设计了一个猜猜乐游戏。

这个游戏是一局一局地进行的。

每局游戏系统会开出$1$个正整数,其中:

开出$1$的概率是$6/{\pi^2}$;

开出$2$的概率是$6/{4\pi^2}$;

开出$3$的概率是$6/{9\pi^2}$;

开出$4$的概率是$6/{16\pi^2}$;

开出$5$的概率是$6/{25\pi^2}$;

……

依次类推,开出$n$的概率是$6/{n^2 pi^2}$,$n$是没有上限的。

一开始玩家持有$1$枚金币。

每局游戏玩家都可以在一个数或者多个数上下注任意数量的金币,

但所下金币数量的总和不得超过玩家当前持有的金币数。

玩家下注完毕之后,系统才会开出这局游戏的幸运数字,记为$x$。

如果玩家在数字$x$上下注了$m$枚金币,那么玩家可以额外得到$m*(2x^2-1)$枚金币(加上下注的$m$枚金币,玩家一共可以收回$m*2x^2$枚金币)。

也就是说:

猜中数字$1$的赔率是$2$;

猜中数字$2$的赔率是$8$;

猜中数字$3$的赔率是$18$;

猜中数字$4$的赔率是$32$;

猜中数字$5$的赔率是$50$;

……

依次类推,猜中数字$x$的赔率是$2x^2$。

除了幸运数字$x$,系统会把玩家下在其它数字上的金币全部收走,然后一局游戏就结束了。

如果玩家在某局游戏里不幸输光了所有的金币,那么系统会借$1$枚金币给玩家,好让玩家继续玩。

如果玩家不幸再次输光,那么系统会再借$1$枚金币给玩家,

如此反复,玩家可以从系统那里借用的金币数量没有限制,

但只能在输光的时候借,并且每次只能借$1$枚,

如果玩家在某局游戏结束后,持有的金币数量大于$1$枚,

那么下一局游戏开始前,玩家必需把多出来的金币用来偿还借款,

直到借款还清,或者部分还款后,玩家只剩下$1$枚金币,才能开始下一局游戏。

问题$1$:

如果玩家的目标是攒$1$亿枚金币,

并且希望所需局数的期望值尽可能小,

求玩家的最佳策略和所需局数的期望值。

问题$2$:

如果玩家的目标是最大化每局游戏的金币增长速率,

即当所玩局数$N->\infty$时,玩家希望最大化${\log(M)}/N$的值,

$M$是$N$局游戏结束后玩家持有的金币数量,

那么玩家平均每局游戏可以使金币数量增加多少倍?${\log(M)}/N$的极限是多少?

-----

以下是系统随机开出的$1000$个数,供玩家参考:

2 5 2 1 1 2 1 2 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 24 2 2 8 1 22 1 2 7 1 7 1 17 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 5 9 3 38 1 1 1 1 13 24 9 1 8 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 6 1 1 1 1 1 1 4 5 4 1 2 1 1 4 2 2 3 1 2 2 1 7 1 2 1 2 1 1 1 5 1 2 4 1 4 1 1 1 1 3 1 9 5 38 1 1 1 7 21 15 2 1 2 12 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 64 2 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 5 1 1 2 1 3 2 2 1 8 1 1 15 4 1 2 1 1 1 1 1 3 2 2 1 15 2 2 2 1 1 2 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 3 3 12 5 1 2 3 1 1 1 1 2 1 1 4 1 7 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 2 1 333 4 1 1 1 2 1 1 1 5 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 76 1 1 1 1 2 2 1 4 1 1 1 4 2 1 1 1 5 1 1 1 1 1 2 5 3 1 1 1 4 1 2 1 10 1 1 1 2 1 1 2 6 1 1 3 4 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 1 2 12 2 1 2 1 1 2 1 1 3 2 1 2 1 4 1 86 3 2 1 1 3 1 14 3 1 2 6 1 2 1 6 4 16 1 2 4 1 2 1 3 1 1 1 3 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 6 1 2 1 2 1 1 1 1 13 2 1 1 10 7 1 1 4 4 12 1 2 2 1 1 1 1 4 1 4 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 9 1 1 2 1 9 1 1 1 3 1 1 1 1 2 1 1 2 1 4 2 2 1 1 1 1 1 1 2 14 2 1 2 1 1 10 4 3 1 1 1 1 1 1 19 1 1 1 1 12 1 2 1 21 9 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 3 1 77 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 5 9 1 1 1 5 1 1 2 7 2 1 2 2 1 3 1 1 2 5 1 1 6 1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 3 12 1 1 1 1 11 1 1 3 3 1 8 1 1 1 1 5 3 1 1 1 1 9 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 5 1 25 1 1 1 1 23 2 1 12 6 1 1 1 2 1 3 1 1 29 1 28 1 8 1 3 1 1 1 2 1 1 1 2 2 8 1 1 1 1 1 3 1 3 4 1 2 1 1 94 2 4 2 6 1 13 1 1 2 2 1 1 2 3 10 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 17 1 1 7 1 1 3 2 2 20 1 1 2 1 1 1 1 1 2 11 1 3 2 64 2 1 12 1 6 1 1 8 1 2 1 3 2 1 1 1 1 3 6 6 1 1 1 5 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 1 10 1 1 5 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2 5 1 2 2 2 1 13 1 51 1 3 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 153 1 1 1 1 3 6 3 2 13 1 1 1 3 10 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 3 1 1 2 1 2 1 2 5 1 1 4 1 1 1 2 3 1 20 1 8 5 1 1 1 4 2 1 2 4 2 1 1 1 1 7 3 13 1 1 1 7 2 1 1 85 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 5 1 5 2 76 1 1 1 1 2 39 2 6 1 3 1 1 1 3 6 8 1 4 2 1 1 1 5 1 1 56 1 2 1 321 1 2 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 4 2 1 1 1 24 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 2
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-11-22 10:46:21 | 显示全部楼层
试玩结果如下(随便玩的,不是最佳策略):

第1局:                猜1,开12,输光,借1枚;
第2局:                猜1,开3,又输光,再借1枚;
第3局:                猜1,开1,还1枚;
第4局:                猜1,开2,借1枚;
第5局:                猜1,开1,还1枚;
第6局:                猜1,开1,再还1枚,已还清;
第7-9局:        猜1,开1,收益3枚,持有4枚;
第10,11局:        猜1和2,开1,无收益,持有4枚;
第12局:        猜1和2,开3,亏损2枚,持有2枚;
第13,14局:        猜1,开2,输光,借1枚;
第15局:        猜1,开16,又输光,再借1枚;
第16,17局:        猜1,开1,还2枚,已还清;
第18-21局:        猜1,开1,收益4枚,持有5枚;
第22,23局:        猜1和2,开1,无收益,持有5枚;
第24局:        猜1和2,开5,亏损2枚,持有3枚;
第25-39局:        猜1,先亏损后盈利,收益3枚,持有6枚;
第40-47局:        2枚猜1,1枚猜2,开1,收益8枚,持有14枚;
第48局:        2枚猜1,1枚猜2,开2,收益5枚,持有19枚;
第49局:        3枚猜1,1枚猜2,开1,收益2枚,持有21枚;
第50局:        4枚猜1,1枚猜2,开1,收益3枚,持有24枚;
第51局:        4枚猜1,1枚猜2,开16,亏损5枚,持有19枚;
第52局:        2枚猜1,1枚猜2,开1,收益1枚,持有20枚;
第53局:        3枚猜1,1枚猜2,开1,收益2枚,持有22枚;
第54局:        4枚猜1,1枚猜2,开103,亏损5枚,持有17枚;
第55-93局:        2枚猜1,1枚猜2,先亏损后盈利,收益11枚,持有28枚;
第94-111局:        3枚猜1,1枚猜2,收益8枚,持有36枚;
第112-124局:        4枚猜1,1枚猜2,收益15枚,持有51枚;
第125-149局:        5枚猜1,1枚猜2,收益24枚,持有75枚;
第150-158局:        8枚猜1,2枚猜2,1枚猜3,收益29枚,持有104枚;
第159-163局:        12枚猜1,3枚猜2,1枚猜3,收益34枚,持有138枚;
第164-166局:        20枚猜1,4枚猜2,1枚猜3,收益45枚,持有183枚;
第167-177局:        30枚猜1,6枚猜2,2枚猜3,1枚猜4,收益63枚,持有246枚;
第178-184局:        40枚猜1,8枚猜2,3枚猜3,1枚猜4,收益100枚,持有346枚;
第185-208局:        60枚猜1,12枚猜2,4枚猜3,2枚猜4,1枚猜5,收益192枚,持有538枚;
第209-240局:        80枚猜1,16枚猜2,6枚猜3,3枚猜4,2枚猜5,1枚猜6,收益496枚,持有1034枚;
第241-287局:        120枚猜1,30枚猜2,13枚猜3,7枚猜4,4枚猜5,3枚猜6,2枚猜7,1枚猜8,收益1320枚,持有2354枚;
第288-312局:        400,100,44,25,16,11,8,6,5,4,3,3,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1枚分别猜1,2,3,...23,收益3976枚,持有6330枚;

金币赚得太多,继续手工投注,手工结算太累了,

于是编个程序自动投注,自动结算,结果如下:

第313局: 开2,盈利1291枚,持有7621枚;
第314局: 开1,盈利1550枚,持有9171枚;
第315局: 开1,盈利1863枚,持有11034枚;
第316局: 开202,亏损9735枚,持有1299枚;
第317局: 开1,盈利278枚,持有1577枚;
第318局: 开1,盈利335枚,持有1912枚;
第319局: 开1,盈利401枚,持有2313枚;
第320局: 开1,盈利483枚,持有2796枚;
第321局: 开1,盈利581枚,持有3377枚;
第322局: 开2,盈利696枚,持有4073枚;
第323局: 开2,盈利835枚,持有4908枚;
第324局: 开1,盈利1007枚,持有5915枚;
第325局: 开1,盈利1210枚,持有7125枚;
第326局: 开2,盈利1450枚,持有8575枚;
第327局: 开2,盈利1741枚,持有10316枚;
第328局: 开9,盈利2088枚,持有12404枚;
第329局: 开3,盈利2496枚,持有14900枚;
第330局: 开1,盈利3007枚,持有17907枚;
第331局: 开1,盈利3616枚,持有21523枚;
第332局: 开1,盈利4335枚,持有25858枚;
第333局: 开2,盈利5206枚,持有31064枚;
第334局: 开1,盈利6246枚,持有37310枚;
第335局: 开2,盈利7491枚,持有44801枚;
第336局: 开96,亏损3525枚,持有41276枚;
第337局: 开1,盈利8294枚,持有49570枚;
第338局: 开31,盈利9075枚,持有58645枚;
第339局: 开7,盈利11731枚,持有70376枚;
第340局: 开2,盈利14115枚,持有84491枚;
第341局: 开2,盈利16939枚,持有101430枚;
第342局: 开1,盈利20341枚,持有121771枚;
第343局: 开1,盈利24416枚,持有146187枚;
第344局: 开20,盈利28922枚,持有175109枚;
第345局: 开3,盈利35108枚,持有210217枚;
第346局: 开6,盈利42156枚,持有252373枚;
第347局: 开3,盈利50640枚,持有303013枚;
第348局: 开5,盈利60799枚,持有363812枚;
第349局: 开2,盈利73051枚,持有436863枚;
第350局: 开2,盈利87746枚,持有524609枚;
第351局: 开1,盈利105439枚,持有630048枚;
第352局: 开1,盈利126683枚,持有756731枚;
第353局: 开1,盈利152226枚,持有908957枚;
第354局: 开10,盈利182932枚,持有1091889枚;
第355局: 开1,盈利219883枚,持有1311772枚;
第356局: 开2,盈利264303枚,持有1576075枚;
第357局: 开1,盈利317747枚,持有1893822枚;
第358局: 开1,盈利382011枚,持有2275833枚;
第359局: 开1,盈利459350枚,持有2735183枚;
第360局: 开1,盈利552382枚,持有3287565枚;
第361局: 开2,盈利664338枚,持有3951903枚;
第362局: 开1,盈利799073枚,持有4750976枚;
第363局: 开2,盈利961208枚,持有5712184枚;
第364局: 开1,盈利1156383枚,持有6868567枚;
第365局: 开2,盈利1391320枚,持有8259887枚;
第366局: 开1,盈利1674151枚,持有9934038枚;
第367局: 开1,盈利2014696枚,持有11948734枚;
第368局: 开1,盈利2424730枚,持有14373464枚;
第369局: 开8,盈利2918468枚,持有17291932枚;
第370局: 开1,盈利3513171枚,持有20805103枚;
第371局: 开2,盈利4229398枚,持有25034501枚;
第372局: 开8,盈利5092082枚,持有30126583枚;
第373局: 开1,盈利6131381枚,持有36257964枚;
第374局: 开1,盈利7383454枚,持有43641418枚;
第375局: 开2,盈利8891986枚,持有52533404枚;
第376局: 开2,盈利10709684枚,持有63243088枚;
第377局: 开1,盈利12900106枚,持有76143194枚;
第378局: 开2,盈利15539821枚,持有91683015枚;
第379局: 开19,盈利18720859枚,持有110403874枚;

根据程序运行的结果,我们发现:

当金币攒到一定数量之后,就可以开启自动投注模式。

自动投注模式会把大部分金币分散投注到尽可能多的数字上,

使得猜中任何一个投了注的数字均可以获得$20%$以上的固定收益。

于是自动投注模式开启后,金币数量以每局$1.2$倍的速度暴涨,很快就达到$1$亿了。

(虽然偶尔会开出没有投注的大数,导致大幅亏损,但概率非常小,

而且每局都留了一部分金币不投,因此不会输光,很快就可以回血复活,继续暴涨)

很期待能找到用最少的局数攒够金币的最佳策略。
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 楼主| 发表于 2018-1-11 00:03:31 | 显示全部楼层
下载这个附件,解压后就可以玩这个游戏了:

guess.zip (85.71 KB, 下载次数: 3)

玩法如下:

guess.png

该游戏的目标是用最少的局数攒$1$亿枚金币。
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