论坛 › 难题征解 › 只有两个解？

northwolves 发表于 2009-1-17 11:20:04

只有两个解？

$3C_m^3=C_n^2$ 是否只有两个解：$(3,3)$& $(7,15)$?

winxos 发表于 2009-1-18 12:15:05

将其表达式展开，应该好解吧？
好久没碰这些东西了，不想动脑筋了。

northwolves 发表于 2009-1-19 09:30:42

展开： $m(m-1)(m-2)=n(n-1)$

medie2005 发表于 2009-1-20 21:07:53

只有有限个解,但不肯定是只有两个.

无心人 发表于 2009-1-20 21:20:22

对 m <= 200000测试
未发现第三个解

无心人 发表于 2009-1-20 21:59:44

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main(void)
{
double m, n, a, b;
m = 3.0;
while (m <= 200000.0)
{
    a = m * (m - 1) * (m - 2);
    a = 4 * a + 1;
    b = floor(sqrt(a));
    if (abs(b * b - a) <= 1e-15)
    {
      n = (b + 1) / 2.0;
      if (abs(floor(n) - n) <= 0.0001)
          printf("%.4f%.4f\n", m, n);
    }
    m += 1.0;
}
}

mathe 发表于 2009-1-21 09:18:15

原帖由 medie2005 于 2009-1-20 21:07 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
只有有限个解,但不肯定是只有两个.
只有有限个解是根据什么结论？
当然这个方程相当于椭圆曲线方程$y^2=4x^3-4x+1$,给出的两个解是$(x,y)=(2,+-5)$和$(x,y)=(6,+-29)$
如果仅仅看这个方程，而不看组合数的定义域，那么还有整数解$(x,y)=(+-1,+-1),(x,y)=(0,+-1)$
此外还可以有一些有理数解如$(x,y)=(1/4,+-1/4)$，而上面很多解之间满足三点共线的特性
是不是可以将所有的有理数解都计算出来？

gxqcn 发表于 2009-1-21 09:26:04

我估计这也是为什么楼主不直接写方程，而写成“组合”表达式的原因。
尽管扩展的组合中也允许出现负数、分数等。

白白白 发表于 2021-6-2 21:00:11

我又是逛老帖来补充搬运的，应该只有这两个解，https://tieba.baidu.com/p/7178134859

xiaoshuchong 发表于 2022-3-22 16:06:13

令$m=x+1,n=y+1$，则$y^2+y=x^3-x$,
这是椭圆曲线，其秩为1，有无穷多个有理点，但整点个数有限。

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