解函数方程 f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y)
原帖由 无心人 于 2008-6-21 19:29 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif05-3[★★] 解函数方程： f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y)
令 y=x，则 f(x+2f(x))=2f(x)+x
可否认定其解为：f(x)=x
注：本主题乃 2009-01-21 16:36 从 数学奥林匹克升级题 讨论中分割独立出来的。 原帖由 gxqcn 于 2009-1-21 07:53 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
令 y=x，则 f(x+2f(x))=2f(x)+x
可否认定其解为：f(x)=x
应该还有其它解。通常对于这种题目我们需要求其一些特殊点上的值，比如求f(0),然后余下的部分就可以迎刃而解了。 原帖由 gxqcn 于 2009-1-21 07:53 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
令 y=x，则 f(x+2f(x))=2f(x)+x
可否认定其解为：f(x)=x
感觉这个比昨天讨论那个复杂多了 原帖由 shshsh_0510 于 2009-1-21 11:26 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
感觉这个比昨天讨论那个复杂多了
由 f(x+2f(x))=2f(x)+x，令 u=2f(x)+x，得 f(u)=u
所以我认为其解就是：f(x)=x
可惜我的水平不够，恐还有其它什么问题（粗略看过这几天你与mathe的选择公理的讨论），
所以才采用了疑问句式。
但不知复杂在哪里？ 你用的是“带入y=x”，和mathe那个g(x)=f(x)+x^2 的带入是不同的,他那个是可逆的，你这个恐怕约束被减弱了。
我觉得这个题，令f(0)为任意值可能都推不出矛盾 原帖由 shshsh_0510 于 2009-1-21 12:05 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
你用的是“带入y=x”，和mathe那个g(x)=f(x)+x^2 的带入是不同的,他那个是可逆的，你这个恐怕约束被减弱了。
我觉得这个题，令f(0)为任意值可能都推不出矛盾
可以推导出f(0)=0,设f(0)=a
分别将x=0和y=0代入，得到：
f(2f(y))=a+y+f(y)
f(x+2a)=f(x)+a
将y=x+2ka(其中k为整数)代入第一式，然后应用第二式，得到
f(2f(x))=(2k+1)a+x+f(x)
由于k任意，可以得到a=0.所以f(0)=0 任取实数a,设f(a)=b
另y=a代入得到f(x+2b)=f(x)+a+b，所以f(x+2kb)=f(x)+k(a+b)
另y=s+2kb，x=-2ka代入得到f(-2ka+2f(s)+2k(a+b))=f(-2ka)+s+2kb+f(s)+k(a+b)，
然后得到f(2f(s))-s-f(s)=2kf(a)+f(-2ka)，其中左边为0(x=0,y=s代入即可）
所以我们得到对于正整数k都有f(-2ka)=-2kf(a),其中a任意。
由此对于正整数m,n有$f(m/nx)=f({-2m}/{-2n}x)=-2mf(x/{-2n})={-2m}/{-2n}f((-2n)x/{-2n})=m/nf(x)$ mathe这个拿式子倒腾来倒腾去的功夫可真不得了！！
既然 f(m/n*x)=m/n*f(x) ,令f(1)=c ,f(m/n)=m/n *c
确定出一个非0有理数，其他的也就定了，继续看结果吧 ：） 然后在根据2f(a)=f(-2a)=-2f(a)可以得知对于所有有理数p有f(px)=pf(x)
然后我们令x=0代入原始条件得f(2f(y))=y+f(y)=2f(f(y))
所以
$f(x+2f(f(y)))=f(x)+f(y)+f(f(y))=f(x)+f(y)+y/2+{f(y)}/2=f(x)+y/2+3/2f(y)$
$f(x+2f(f(y)))=f(x+y+2f(y/2))=f(x+y)+y/2+{f(y)}/2$
两式相比较得到对于任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).所以结合上面的结果得到这个也是有理数域上的线性变换。
此外令x=y代入原始条件得f(x+2f(x))=x+2f(x),所以要么$f(x)=-x/2$,要么存在非0数c,使得f(c)=c. 现在说明这样的函数不唯一。同样将实数集R看成有理数集Q上的线性空间(这方面信息可以参考帖子http://bbs.emath.ac.cn/thread-1143-1-1.html)，H是R的一个基，现在将H分解成两个部分$H_1,H_2$
其中$H_1$生成的子空间记为$R_1$,$H_2$生成的子空间为$R_2$,那么对于任意一个实数r,那么存在唯一的$r_1 in R_1,r_2 in R_2$,使得$r=r_1+r_2$,定义$f(r)=r_1-1/2r_2$
于是对于任意的实数x,y,假设$x=x_1+x_2,y=y_1+y_2,x_1 in R_1,y_1 in R_1, x_2 in R_2, y_2 in R_2$
我们有
$f(x+2f(y))=f(x+2y_1-y_2)=f(x_1+2y_1+x2-y_2)=x_1+2y_1-1/2x_2+1/2y_2$
$f(x)+y+f(y)=f(x_1+x_2)+y_1+y_2+f(y_1+y_2)=x_1-1/2x_2+y_1+y_2+y_1-1/2y_2=x_1+2y_1-1/2x_2+1/2y_2$
所以这个函数满足条件
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