论坛 › 趣题妙解 › 完全平方数

mathe 发表于 2009-5-16 13:32:52

完全平方数

求所有的整数n,使得${n^5-1}/{n-1}$是完全平方数

wayne 发表于 2009-5-16 22:05:35

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仅有一个解：
n=3

${n^5-1}/{n-1}=11^2$

mathe 发表于 2009-5-17 15:28:31

整数还可以是0和负整数.
还有仅仅有结果还不够,最好还能够证明一下

wayne 发表于 2009-5-17 19:40:07

回复 3# mathe 的帖子

本想臆断一下，“只有一个解”，起一个抛砖引玉的作用，

谁知mathe要我证明，:L

其实我无从下手，也不知道是不是只有一个解的

wayne 发表于 2009-5-17 20:36:26

回复 4# wayne 的帖子

mathe ,:victory: ,你给的方程叫做 Nagell–Ljunggren equation,前人已经研究过了，更一般的情况${x^n-1}/{x-1}=y^p$，见附件

wayne 发表于 2009-5-17 20:51:10

网上有好多证明啊，我可以搜出一大把来，下面的截图来自：

http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102620327

zed 发表于 2009-5-17 21:26:00

${n^5-1}/{n-1}=1+n+n^2+n^3+n^4$
$(n^2+n/2)^2=n^4+n^3+n^2/4<1+n+n^2+n^3+n^4$
而在n<-1或n>3时
$(n^2+n/2+1/2)^2=n^4+n^3+5/4n^2+1/2n+1/4>n^4+n^3+n^2+n+1$
所以在n<-1或n>3时,如果n是奇数
$(n^2+{n-1}/2)^2<(n^2+n/2)^2<1+n+n^2+n^3+n^4<(n^2+{n-1}/2+1)^2$
而如果n<-1或n>3时,如果n为偶数
$(n^2+n/2)^2<1+n+n^2+n^3+n^4<(n^2+{n+1}/2)^2<(n^2+n/2+1)^2$
两种情况都说明1+n+n^2+n^3+n^4不是完全平方数.
所以只能$-1<=n<=3$,一一代入检验.n=-1,0,3结果都是完全平方数,n=2不是

wayne 发表于 2009-5-17 21:50:21

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:b: ，

呵呵，我看到这个数一定是奇数的平方，就代进去了，然后解一元二次方程，也有 $(n^2 + n/2)^2$与$(n^2 + n/2+1)^2$，接着就乱了，没了方向，还是你的思维简洁，佩服！！

mathabc 发表于 2009-5-20 16:54:32

zed 是高人！

shshsh_0510 发表于 2009-5-22 13:51:47

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同意9#

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