我发现 n=132的时候,论文的数据也不对. 应该分别是1566904,1566905,1566907位数
156269454305445473849517933254674620728309547228398909030529684765676998705448160126709819563190774694800805322<<1566682>>231382532332323696689301961740700315343233160370482947394607024369948812475424265323740333672689398626908511269,
435325950766667977722456811855288411840725684692793104912895826539796689282239447704157637387666189974637737637<<1566683>>306308181915317558544361630092488791920132850627140283964545109871579178882485656901378851612562430172658068676,
595223675174725378474488283661935901541985253082983334743795655069201974643887656417492447208892775528641014028<<1566685>>495320388292325513482826418376221076937584715832974817819919224870436714565773999823049787547831154860186073429
论文里提到 $n=616$是 $1<n<1000$以内最难的例子,生成元的高度最大,magma也计算不出生成元.
然后跑了15个小时,.找到了其中一个有理点.$y^2 + x y =x^3+(n^2+9 n+17) x^2+(n+3) (2 n+5) (2 n+7) x+(n+3)^2 (2 n+5)^2$
[-291363063431482552848227172685086233061051153679504349366684229971421105186488362447093978671361958654570353178413838907715272458919598568729496246281100779897240271857446715174694697049626827470916763615204458534818294856435441705167454666621187128466548416526912415284517407152611413780847727/235348037878151359059802910381016802428774304293218287014296992112459902780654079569720728371689557608284338618097694224943380822144675661931416461492462267657727117979682475146824442782347092140814968294712730852332131008319066665086003968184094090388006525272686835520116689275120700119481, 2251673276345999321336389208866302100856524608109543689291050115277951885162671074987568475119227770712869124362559290473824516533327390305670641248531926594289025668569610313956720001042031292751773171119838319729751282524794473366603632293194576574938018497032597271779390759646039681460110716421868684629490480560594723783075573354410843258519787872871085025930272286876255969062830165747257711149325861379345174199847155602725531339260/3610487725298030189631645602623349263448024084562525885611085481987781991920509656162003891394826109162219956256103844924662410973105572050839609304570304982073616826934356308105415920410295863040891421006181857119589468748450998258191831530423839764439099579090607092978114850099637260394117431817155136665146681415493053770123616775367175109008412993235741170483799719346292932090721072169788228678707914515148629290487501987714627629]
回代进去得到 两个较小的解
{438,439,439,(347027425472861549235081722315035940023528616427446544365850315370190470655808333035967239231852443220054303028648462137966840695329913190219030308460660681645449735192157127402576152685761292305153695267747255256876069417466311674486357116410964090246380243710775376095448944340989987402503535984795197035267088335820174408830543303922549218239746154199281360263212540169735447238911723236259867087105564372843005770986806952417126693211,-347730888697706213412576763899111515424227633513978882855100696946697963704319591886094790595432572424820495390517875465453611802913741001185817832324452250457159874799315230170682694765861042682113026952846757676787832289305763485935948286753347932380725251693840309768119606490426594339302388181570085531177011920903081475475979588530557944281070194084136853405709302155772235961158795774008372924132110126103387100840304797574228118991,-430724302660333586035901793784028967184550664330191947281537809911196630053889623604337859904475433495445439278858739057589086073252474739379906934517725109281871328095538232064481898089532800147148796734038060697752112564800446392312073552544723673235056925675146197041354370892023209037754775795131080210615982282635796888389033079741373816345030971468108006592840894171184942485256349373841397430491168624143429836013522586141848824031),[(1, 2), (1, 5), (1, 6)] }
{439,440,440,(2214104942899005085501038464670628274848683301285500953603446653666599815959695225239513815548216528383462742318032898951953493132323259127761856420987782018602531370999047942030665284069321831379094984059905301516525075642292085573959158759583328058537826168655786216641277551418467181681584662101650682612612086425464901073441281950610270758341297616203385107251991199580833961194227735125500581505845840308942888013386480168471678316813,-2218144163429046965404741688222428923083756463606466435687042991778397685619772792369996819115633588082366869849171210288953523233998714187721396788549640482847078043183008424300902363394628013699069205505787183895692875911213427335205915958553873345922457293970249551356499527594128736038069405313713012663875534509731834226425272040084887828429609467814001278852421734649688534204916063036719401281850255817554353317306186232760847044383,-2251673276345999321336389208866302100856524608109543689291050115277951885162671074987568475119227770712869124362559290473824516533327390305670641248531926594289025668569610313956720001042031292751773171119838319729751282524794473366603632293194576574938018497032597271779390759646039681460110716421868684629490480560594723783075573354410843258519787872871085025930272286876255969062830165747257711149325861379345174199847155602725531339260),[(1, 0), (1, 1), (1, 3), (1, 4)] }
总共确定 有 9组数据 论文给的不对, 另外两组 太大了,千万位的数, 还在计算中, https://nestwhile.com/res/unsual/
## 130
{3722875, 3722875, 3722878}
{413634669952892467554428321651675805287309240076448092503951250096495325379044762481084356771848906033793741320<<3722652>>9944519646910603240841325699928798556142969132296951380490001916382811628645751936790995548090739985036782240203,926075468226395354576284590985114171852836613415076411479445620949276941583504382671588182637072415020834374367<<3722652>>6344026035701371315778668761033006683539483711374622044120658664232006387640057287725181277715713740790549314785,174152045604539417601210314585722935050230267122583843191975002516609540800702527617603614067287395412470377397<<3722655>>3073079705848364115508649307163868747462309681120300905116350844943725712953021292457513921103842461737259557489}
## 132
{1566904, 1566905, 1566907}
{156269454305445473849517933254674620728309547228398909030529684765676998705448160126709819563190774694800805322<<1566681>>0231382532332323696689301961740700315343233160370482947394607024369948812475424265323740333672689398626908511269,435325950766667977722456811855288411840725684692793104912895826539796689282239447704157637387666189974637737637<<1566682>>9306308181915317558544361630092488791920132850627140283964545109871579178882485656901378851612562430172658068676,595223675174725378474488283661935901541985253082983334743795655069201974643887656417492447208892775528641014028<<1566684>>3495320388292325513482826418376221076937584715832974817819919224870436714565773999823049787547831154860186073429}
## 156
{5231781, 5231782, 5231784}
{127207535856869812571465514340806789135400959097417057868290861824856152520986653293259182197229244221524721857<<5231558>>4340546393991245903499514752692034916909889963423251051227513481180005212865101804406660886466123932242232896884,512222762113284625065843674453478683255245656565347887490327730696327262648241973454236945469049964757033007025<<5231559>>6356954543226271879044751491829251139873654407391369470594613660642738683745090847131750236753930909405599933181,818878243051871512994048529966187025186080434614118637719828380485389468615870915733819361748432765559319426352<<5231561>>9686263756494089255477673806450766215353743581611051025099754972133793064219643257576762612669391430258167127229}
## 158
{6556661, 6556663, 6556665}
{239663708850489526503282213725578564509047796292369494939759215810649672848303332702656566759110956214301855455<<6556438>>8398070490424407711978058017838602334640242841150426358753736295327814958567532626391098281298804205521025118559,229785101075143450708635656741830151324624125476745312273570391363393280120678704857076848470262809146720655584<<6556440>>5685205883788463341963549854121132611915287481822965097398863108766085931185770579790966801348931275701423548861,366832452557654574071723427096132898280797095976469480401489947772772806270448477824209084922476456867033980821<<6556442>>2673781435286506477189197183303311857273128099997754700203275682639200153624180808045113189569991706440688550669}
## 162
{549408, 549408, 549410}
{1098696420086825727117266340295086874802819092924469455045097813080241255481168034801785173114598693914604184718<<549184>>3816664405381689427187545521706817325581702947677346556048981530211950052599906595728350096501546301862070970483,1728655348401852729612794286052821222833755233489216875787022177745986144158589158675239800107309093447648901403<<549184>>4109547316591928022881510088456260289483054804872895416249480577112808606037593964311418547235254892813891032865,4580135840822155806508286764924971459919566414373165588233522599467892717270130524048058047232266352483411800164<<549186>>2086385017764848778219112960381678984752740954589552020855115950149324469780182513802986293782264185706356626177}
## 178
TBD
## 182
{1228521, 1228522, 1228524}
{565463056821040212461390439808918469971272829518259537819704583947138568609001919915629861472108884715983865246<<1228298>>0254145895752737335108234101278988527930530413617141110120874055441995457642273557125746565518515705538275782901,265556664493724208090947398962125399226424052098319821373358895281537327973924860415538733612211049622162788597<<1228299>>5302782759166364177590126419244766533203818511668254086947431339966279100237203008115961673007690436851338825631,586209735294208054771436596778230561958593888391418675730664768711041746361275640399288413781365749200797012243<<1228301>>7557370242639405189625249486342877290438528875595185643003069649432926700063541034356627293203013179490863325903}
##184
{9020683, 9020684, 9020686}
{102717675779410471569390909520667784231406980623772917345519260547493112924230669633893754739778275498855394801<<9020460>>6482252904961069093445623493878178533040435357898028060403470618646947358589563021951445633436187153348574068443,120328289640893876024594184638457747308706184724636976678312671081649443794837768906502955701927798496617060089<<9020461>>4553916105353390518486301331499835915984692006151455549463767543220982400053598270567447476360953377214813113183,240297012819841874056122562403882691646554738468856760479929838128757379435634652256652697542565687645007725557<<9020463>>3890305326091614987646774537868564980381047604864592216829182545259480877577874761714315330685477374699420459212}
## 186
{2363856, 2363858, 2363860}
{866889470152584064055999763034412185560691591967436245831023511064470407975329551458810399146439422453450970076<<2363633>>8057524674769201566369751345427812775923346061893733440809903435084785321910216460344456574510556548698566233040,151648608963465181468344925807403542321310370355249503266403168325439713260783771506526132979781338548913150482<<2363635>>8671782473618501436832077756477805427412648269519688620513988466521746260744779480694920003030092516206539340503,298181942075342708412050309733725250415093029120482856557874339291663908761778389433240374906265805653362561039<<2363637>>3427593571957904460401380301628333804869184151600398237933342374091821475307873769155977120233496251038711313827}
## 196
{4917525, 4917526, 4917528}
{188361679676927516981053725209624811660201473009350234564962168863081603046738120669799514776491758466816696558<<4917302>>9361305637507503161285027157154355967797197482856793313582920001507864312407015844403168259279727790413521984009,103462183494915044826417486415350808687257334950723002282719775113408215059495533020338012591909561390300234462<<4917303>>0319640439125419949198614358387948830179042854771105780200470377284600126536584349383083148837075001448733738251,239698537268081539733863698537465011132434658147257844396048457861925366568905383639089923986924789721557722870<<4917305>>7454553550343280189223674496655515950339618225464866989059721144577420780694833830885489649828381717240013593339}
## 200
TBD
wayne 发表于 2025-7-20 11:05
挂机 跑了一晚上.算出了n=156的秩为1, 最小的正整数解的 三个数a,b,c 分别是 5231781,5231782,5231784 位数 ...
给论文的两个作者 发了邮件,Allan.MacLeod 的邮件失效,服务器拒收了,幸好第一个人发成功了,给了回复. 2014年的论文, 我竟然是第一个人发现错误. 作者也不知道 为啥部分数据 会出现错误.
另外,作者的计算机比我强太多太多了, 瞬间计算并更正了178和200的数据.而我的电脑关于178和200的计算已经跑了3天多,计算进度只有60%.计算到了$1540*G$,要计算到 $2900*G$才会出结果
Dear ....,
Thank you for your email. Yes! You are correct: the published table is wrong. I no longer have the computer files that were used to perform the calculations, and I have no idea how the errors occurred. I re-computed the table today, and the results agree with your own computations for the nine cases you list. For the remaining two, I get for n=178: [ 173112148, 173112150, 173112152], and for n=200: . The correct values are all a little less than one half the printed incorrect values, curious, but I do not understand how the error arose. Particularly, when the entry for N=198 is correct! Bizarre. You are the first person to contact me about the error. Thank you for checking so closely. If anyone writes to me in future about the error, I shall of course respond that you were the first to discover this.
This was a fun paper to work on.
With good wishes,
Andrew Bremner
刚发现作者两三个月前给我发了邮件,说是 向期刊提交了论文勘误. 并提到了咱们的发现.
Even Ramanujan couldn't solve this problem without a powerful calculator.
你们牛！
已知 \(\dfrac{400}{9}*a*a=(a+b+c)*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)\)，\(a,b,c\) 均为正整数，求最小的 \((a,b,c)\)