三角形已知两边以及内接圆直径,啥条件下第三边只有一种情况?
https://bbs.emath.ac.cn/thread-15311-1-1.html求三角形的第三边数值？
问题来源于上面的问题,上面的AC边有两种情况,
满足啥条件,然后AC只有一种情况呢? 唯一情况，对应三次方程有重根 对于给定的腰长，内切圆最大时，底边长唯一。 根据海伦公式$r^2p=(p-a)(p-b)(a+b-p)$其中p为半周长，所以$max{a,b}<p<a+b$
我们可以得出如下的图
其中三次曲线代表上面方程的右边，而直线代表上面方程的左边，其中$r^2$为直线的斜率。
我隐约记得好像有“已知两边和旁切圆半径，能唯一确定这个三角形”这种结论，不知有人了解的吗？ mathe 发表于 2018-3-19 16:13
根据海伦公式$r^2p=(p-a)(p-b)(a+b-p)$其中p为半周长，所以$max{a,b}
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*r是内切圆半径,a b c是三条边的边长*)
ff=Collect,c](*由两种面积定义得到等式*)
flist=FullSimplify@CoefficientList(*计算系数*)
{d0,c0,b0,a0}=flist(*把各个系数赋值*)
(*计算系数的判别式子函数*)
fun:=Module[{a=a0,b=b0,c=c0,d=d0},18*a*b*c*d-4*b^3*d+b^2*c^2-4*a*c^3-27*a^2*d^2]
(*由系数计算最终的判别式*)
rr=FullSimplify@fun
a=6;b=8;
NSolve[{rr==0,r>0},{r},80]
\
就是a b r满足的条件,但是只是必要条件,不是充分条件
也就是
\[-4 r^4 \left(2 a^2+7 a b+2 b^2\right)+a^2 b^2 (a-b)^2+4 r^2 \left(-a^4+a^3 b+a^2 b^2+a b^3-b^4\right)-4 r^6=0\]
这个方程
hujunhua 发表于 2018-3-19 15:58
对于给定的腰长，内切圆最大时，底边长唯一。
你的观点很深刻,我计算了a=6;b=8;的情况,c=8.853244607832230170710647643238275867
确实是在内切圆半径最大的情况下是唯一的解
但是并不能证明
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