三角形计数
我女儿的数学题，以三乘五单位网格(边长为2*4的长方形分割为单位正方形)中格点为顶点的三角形中有多少个面积为三。我数来数去24个，可是标准答案是28,感觉答案有问题，和大家求证一下 答案是28#include<cmath>
#include<cstdio>
double d(int x,int y)
{
return sqrt(x*x+y*y);
}
int main()
{
int i,j,k,s=0;
for(i=0;i<13;i++)
for(j=i+1;j<14;j++)
for(k=j+1;k<15;k++)
{
int ix=i/5,iy=i%5,jx=j/5,jy=j%5,kx=k/5,ky=k%5;
double a=d(ix-jx,iy-jy),b=d(ix-kx,iy-ky),c=d(jx-kx,jy-ky),p=(a+b+c)/2,r=p*(p-a)*(p-b)*(p-c);
if(r>8.9&&r<9.1)s++;
}
printf("%d",s);
}
把方案输出来，结果如下：
1:
o..o.
.....
o....
2:
o..o.
.....
.o...
3:
o..o.
.....
..o..
4:
o..o.
.....
...o.
5:
o..o.
.....
....o
6:
o....
...o.
o....
7:
o....
....o
..o..
8:
o....
.....
o..o.
9:
o....
.....
.o..o
10:
.o..o
.....
o....
11:
.o..o
.....
.o...
12:
.o..o
.....
..o..
13:
.o..o
.....
...o.
14:
.o..o
.....
....o
15:
.o...
....o
.o...
16:
.o...
.....
o..o.
17:
.o...
.....
.o..o
18:
..o..
o....
....o
19:
..o..
....o
o....
20:
..o..
.....
o..o.
21:
..o..
.....
.o..o
22:
...o.
o....
...o.
23:
...o.
.....
o..o.
24:
...o.
.....
.o..o
25:
....o
o....
..o..
26:
....o
.o...
....o
27:
....o
.....
o..o.
28:
....o
.....
.o..o
Process exited normally.
Press any key to continue . . .
原来是这4个怪胎在作怪:L
7:
o....
....o
..o..
18:
..o..
o....
....o
19:
..o..
....o
o....
25:
....o
o....
..o..
输出方案的代码如下：
#include<cmath>
#include<cstdio>
double d(int x,int y)
{
return sqrt(x*x+y*y);
}
int main()
{
int i,j,k,l,s=0;
for(i=0;i<13;i++)
for(j=i+1;j<14;j++)
for(k=j+1;k<15;k++)
{
int ix=i/5,iy=i%5,jx=j/5,jy=j%5,kx=k/5,ky=k%5;
double a=d(ix-jx,iy-jy),b=d(ix-kx,iy-ky),c=d(jx-kx,jy-ky),p=(a+b+c)/2,r=p*(p-a)*(p-b)*(p-c);
if(r>8.9&&r<9.1)
{
printf("%d:\n",++s);
for(l=0;l<15;l++)
{
if(l==i||l==j||l==k)printf("o");
else printf(".");
if(l%5>3)puts("");
}
}
}
} (*三角形计数*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*把所有的点坐标化,方便使用行列式来计算三角形的面积*)
kk=1;
mm={
{0,0,kk},{1,0,kk},{2,0,kk},{3,0,kk},{4,0,kk},
{0,1,kk},{1,1,kk},{2,1,kk},{3,1,kk},{4,1,kk},
{0,2,kk},{1,2,kk},{2,2,kk},{3,2,kk},{4,2,kk}
};
(*使用穷举法来解决问题*)
num=0;
Do[
pa=mm[];
pb=mm[];
pc=mm[];
(*如果符合要求,那么输出三点的坐标以及次序*)
If==3*2,num=num+1;Print[{pa,pb,pc,num}]],
{i,1,15},
{j,1,15},
{k,1,15}
]
这个问题最适合穷举法
{{0,0,1},{3,0,1},{0,2,1},1}
{{0,0,1},{3,0,1},{1,2,1},2}
{{0,0,1},{3,0,1},{2,2,1},3}
{{0,0,1},{3,0,1},{3,2,1},4}
{{0,0,1},{3,0,1},{4,2,1},5}
{{0,0,1},{3,1,1},{0,2,1},6}
{{0,0,1},{4,1,1},{2,2,1},7}
{{0,0,1},{0,2,1},{3,2,1},8}
{{0,0,1},{1,2,1},{4,2,1},9}
{{1,0,1},{4,0,1},{0,2,1},10}
{{1,0,1},{4,0,1},{1,2,1},11}
{{1,0,1},{4,0,1},{2,2,1},12}
{{1,0,1},{4,0,1},{3,2,1},13}
{{1,0,1},{4,0,1},{4,2,1},14}
{{1,0,1},{4,1,1},{1,2,1},15}
{{1,0,1},{0,2,1},{3,2,1},16}
{{1,0,1},{1,2,1},{4,2,1},17}
{{2,0,1},{0,1,1},{4,2,1},18}
{{2,0,1},{4,1,1},{0,2,1},19}
{{2,0,1},{0,2,1},{3,2,1},20}
{{2,0,1},{1,2,1},{4,2,1},21}
{{3,0,1},{0,1,1},{3,2,1},22}
{{3,0,1},{0,2,1},{3,2,1},23}
{{3,0,1},{1,2,1},{4,2,1},24}
{{4,0,1},{0,1,1},{2,2,1},25}
{{4,0,1},{1,1,1},{4,2,1},26}
{{4,0,1},{0,2,1},{3,2,1},27}
{{4,0,1},{1,2,1},{4,2,1},28} 本帖最后由 mathematica 于 2018-3-28 12:06 编辑
(*三角形计数*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*把所有的点坐标化,方便使用行列式来计算三角形的面积*)
kk=1;
mm={
{0,0,kk},{1,0,kk},{2,0,kk},{3,0,kk},{4,0,kk},
{0,1,kk},{1,1,kk},{2,1,kk},{3,1,kk},{4,1,kk},
{0,2,kk},{1,2,kk},{2,2,kk},{3,2,kk},{4,2,kk}
};
(*使用穷举法来解决问题*)
num=0;
all={};
Do[
pa=mm[];
pb=mm[];
pc=mm[];
(*如果符合要求,那么输出三点的坐标以及次序*)
If==3*2,num=num+1;all=Append],
{i,1,15},
{j,1,15},
{k,1,15}
];
Print;
(*求出三角形三边的所有的边长,并且排序*)
data=Sort[{EuclideanDistance[#[],#[]],EuclideanDistance[#[],#[]],EuclideanDistance[#[],#[]]}]&/@all
(*合并所有的相同的全等的三角形*)
Length@Union
考虑所有的全等的三角形
\[\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & \sqrt{13} \\
3 & 2 \sqrt{2} & \sqrt{5} \\
3 & 2 \sqrt{2} & \sqrt{5} \\
2 & 3 & \sqrt{13} \\
3 & \sqrt{5} & 2 \sqrt{5} \\
2 & \sqrt{10} & \sqrt{10} \\
2 \sqrt{2} & \sqrt{5} & \sqrt{17} \\
2 & 3 & \sqrt{13} \\
3 & \sqrt{5} & 2 \sqrt{5} \\
3 & \sqrt{5} & 2 \sqrt{5} \\
2 & 3 & \sqrt{13} \\
3 & 2 \sqrt{2} & \sqrt{5} \\
3 & 2 \sqrt{2} & \sqrt{5} \\
2 & 3 & \sqrt{13} \\
2 & \sqrt{10} & \sqrt{10} \\
3 & 2 \sqrt{2} & \sqrt{5} \\
2 & 3 & \sqrt{13} \\
2 \sqrt{2} & \sqrt{5} & \sqrt{17} \\
2 \sqrt{2} & \sqrt{5} & \sqrt{17} \\
3 & 2 \sqrt{2} & \sqrt{5} \\
3 & 2 \sqrt{2} & \sqrt{5} \\
2 & \sqrt{10} & \sqrt{10} \\
2 & 3 & \sqrt{13} \\
3 & 2 \sqrt{2} & \sqrt{5} \\
2 \sqrt{2} & \sqrt{5} & \sqrt{17} \\
2 & \sqrt{10} & \sqrt{10} \\
3 & \sqrt{5} & 2 \sqrt{5} \\
2 & 3 & \sqrt{13} \\
\end{array}
\right)\]
全等后的三角形的三边的边长
\[\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & \sqrt{13} \\
2 & \sqrt{10} & \sqrt{10} \\
3 & 2 \sqrt{2} & \sqrt{5} \\
3 & \sqrt{5} & 2 \sqrt{5} \\
2 \sqrt{2} & \sqrt{5} & \sqrt{17} \\
\end{array}
\right)\]
总共是5个 Table[{x,y},{x,0,4},{y,0,2}]//Flatten[#,1]&//Subsets[#,{3}]&//Select[#,(PadRight[#,{3,3},1/2]//Det//Abs//#==3&)&]&//MapIndexed[{#2[],#1,(#1//Append[#,#[]]&//ListLinePlot[{{{0,0},{4,0},{4,2},{0,2},{0,2}},#},AspectRatio->1/2]&)}&,#]&
其中{{0, 0}, {2, 2}, {3, 0}}与“怪胎”{{0, 0}, {2, 2}, {4, 1}}是同底（{0, 0}, {2, 2}）等高转换，容易忽略，却也不算超前。 我也试了一下，第一次，得到跟mathe一样的答案，明白mathe为什么得出24的答案了．:lol，mathe在计算这题的时候并没有乖乖的一个一个的枚举，而是直接分类穷举．
１）计算非直角的三角形．
１．１）三角形一边是水平的，3*2*2 = 12
１．２）三角形一边是竖直的，2*2 = 4
２）直角三角形，既有水平的边，又有竖直方向的边
２．１）4+4 = 8
至此，总共有$2*3*2+2*2+4+4 = 24$
３）三角形三条边都是斜线的情况．这个不宜自信的假设不存在．要回溯到前面所有的情况，对前面枚举到的所有的三角形，试着对三个边分别做等高的平移尝试，使得三条边都是斜线，发现总共有4个怪胎．如zeroieme所言．
wayne 发表于 2018-3-28 14:51
我也试了一下，第一次，得到跟mathe一样的答案，明白mathe为什么得出24的答案了．，mathe在计算这题的 ...
稍微有点差别，我是不同的分类计算
i)底为3高为2的有5*2*2
ii)底为2高为3的有3*2*2
iii)两者的交集也就是直角三角形4*2
所以总共5*2*2+3*2*2-4*2
我很赞同Fans的怪胎的说法。因为如果我们要考虑三条边是斜线的情况，那么即使找出了这个怪胎，我们又该如何去解释就没有其它的怪胎了呢？难道一一穷举？ @mathe, 恩，姑且叫带有双重目标的枚举．从一开始枚举的时候就要带着A计划和B计划．A计划就是肉眼扫描，依据自己定的大类的标准，扫描出所有的符合大类的三角形．B计划就是在符合当前大类的情况下，顺便再做进一步的平移操作，看是否能构造出等面积的三边都是斜边的三角形 本帖最后由 zeroieme 于 2018-3-28 16:43 编辑
无法上传图片，就试着文字描述
假设三角形AMN的外接矩形为ABCD。线段 AB与CD为矩形对边，长度为a。线段 BC与DA为矩形对边，长度为b。M在CD上，CM长度为c。N在BC上，CN长度为d。
那么三角形AMN面积\(a b-\frac{1}{2} c d-\frac{1}{2} b (a-c)-\frac{1}{2} a (b-d)=\frac{1}{2} (a d+b c-c d)=3\)并\(a\geq 4\land b\geq 2\land a\geq b\land a\geq c\land b\geq d\)的自然数解也是容易穷尽的。
再以全等分类，平移反射记数。 mathe 发表于 2018-3-28 15:05
稍微有点差别，我是不同的分类计算
i)底为3高为2的有5*2*2
ii)底为2高为3的有3*2*2
由最小的勾股数是
3^2+4^2=5^2
而最大坐标是(2,4)
所以推测三角形至少有一边是无理数
可以分三种情况
1\只有一边是无理数
2\只有两边是无理数
3\三边都是无理数
这样分类应该不会出问题
看四楼的矩阵,三边都是无理数的三角形正好是四个
页:
[1]