三个有理数两两之“积和”都是有理数平方
定义一个称为“积和”的运算※：a※b:=ab+a+b. 求三个有理数，两两之“积和”都是有理数平方。\[x※y=xy+x+y=c^2\\
y※z=yz+y+z=a^2\\
z※x=zx+z+x=b^2\] 容易得到 `(x+1)\sqrt{a^2+1}=(y+1)\sqrt{b^2+1}=(z+1)\sqrt{c^2+1}=\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}`,
可见`x,y,z∈Q`当且仅当`(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)`是有理数平方。
那么`(a^2+1),(b^2+1),(c^2+1)`皆是有理数平方是一个充分条件。
任意选择正整数$(u_a,v_a)=1,(u_b,v_b)=1,(u_c,v_c)=1$
构造$□={u_□^2-v_□^2}/{2u_□v_□},(□=a,b,c)$
即可得出满足要求，有`\D\sqrt{□^2+1}=\frac{u_□^2+v_□^2}{2u_□v_□},(□=a,b,c)`
比如$u_a=2,v_a=1,u_b=3,v_b=2,u_c=4,v_c=3$,
可以得到$x=3/10,y=21/104,z=-7/72$, 得出$a=3/4,b=5/12,c=7/24$都是有理数 本帖最后由 葡萄糖 于 2018-7-31 23:44 编辑
同样也是这组解，不知道为什么怎么凑巧？
\((x,y,z)=\left(\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}+v\right)^2+uv,\frac{2}{u}\left(\frac{2}{u}-\frac{u}{2}\right),\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}-v\right)^2-uv\right)\)
\begin{align*}
\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}+v\right)^2+uv\right]\left[\frac{2}{u}\left(\frac{2}{u}-\frac{u}{2}\right)\right]+\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}+v\right)^2+uv\right]+\left[\frac{2}{u}\left(\frac{2}{u}-\frac{u}{2}\right)\right]&=\left[\frac{2}{u}\left(\frac{1}{u}+v\right)\right]^2 \\
\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}+v\right)^2+uv\right]\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}-v\right)^2-uv\right]+\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}+v\right)^2+uv\right]+\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}-v\right)^2-uv\right]&=\left[\left(\frac{u^2}{4}-\frac{1}{u^2}+v^2\right)\right]^2\\
\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}-v\right)^2-uv\right]\left[\frac{2}{u}\left(\frac{2}{u}-\frac{u}{2}\right)\right]+\left[\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{2}-v\right)^2-uv\right]+\left[\frac{2}{u}\left(\frac{2}{u}-\frac{u}{2}\right)\right]&=\left[\frac{2}{u}\left(\frac{1}{u}-v\right)\right]^2
\end{align*}
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