《线性代数原理》目次
第一部分线性代数的解析理论第一章线性方程组理论•行列式理论
§1线性方程组理论………………………………………………………………………… 1
1．1线性方程组的基本概念（1）1．2线性方程组的解法•高斯消去法（3） 1．3线性方程组相容
性与有定性的判定（第一种表述）（6）1．4分离系数•矩阵消元法（7）1．5病态方程组（11）
§2行列式的概念……………………………………………………………………………12
2．1低阶行列式（12）2．2辅助多项式（13）2．3任意阶行列式的定义（15）
§3行列式的展开与变换……………………………………………………………………20
3．1行列式的变换与性质（20）3．2行列式的展开法则•行列式的列与列之间的线性关系（26）3．3正方形方程组的解法•一般线性方程组的通解（33）
§4行列式的计算……………………………………………………………………………36
4．1行列式计算的两类方法（36）4．2三角形行列式（37）4．3杂例（39）4．4范德蒙行列式（42）4．5拉普拉斯定理•行列式的乘法规则（45）4．6伴随行列式（51）
第二章矩阵的理论基础
§1矩阵及其运算……………………………………………………………………………53
1．1矩阵的加法与减法（53）1．2矩阵的乘法•矩阵的转置（56）
§2方阵………………………………………………………………………………………59
2．1方阵的基本概念（59）2．2方阵的幂（62）2．3除法问题•方阵的逆（64）
§3矩阵的子式与秩…………………………………………………………………………67
3．1矩阵的子式•比内特-柯西公式（67） 3．2矩阵的秩•矩阵的初等变换（72） 3．3初等矩阵•置换矩阵（79）3．4行（列）满秩矩阵•西尔维斯特不等式与弗罗贝尼乌斯不等式（90）
§4正方形方程组的高斯消去法……………………………………………………………94
4．1正方形方程组的高斯消去法（94）4．2高斯消元过程的基本公式•行列式的西尔威斯特恒等式（98） 4．3方阵对三角形因子的分解式（100）4．4两个附注（106） 4．5高斯消元过程的力学解释（109）
§5矩阵的分块…………………………………………………………………………… 111
5．1矩阵的分块•分块矩阵的运算方法（111） 5．2正方矩阵的分块（115） 5．3分块矩阵的初等变换•非奇异矩阵求逆的降阶定理（118）5．4最简单的矩阵方程•分块矩阵的对角化（132） 5．5
分块矩阵的行列式•行列式的两个降阶定理（127）5．6矩阵秩的两个降阶定理（130）
第三章矩阵的特征多项式与最小多项式
§1矩阵多项式及其运算………………………………………………………………… 136
1．1矩阵多项式的加法（136）1．2矩阵多项式的右除与左除•广义贝祖定理（137）
§2矩阵的特征多项式与最小多项式…………………………………………………… 140
2．1矩阵的特征多项式•伴随矩阵（140）2．2法捷耶夫-勒维耶算法（143） 2．2矩阵的最小多项式（145）
第四章初等因子的解析理论
§1理论的基础：多项式矩阵的等价变换……………………………………………… 149
1．1多项式矩阵的初等变换•多项式矩阵的相抵（149）1．2λ-矩阵的相抵标准形（152）1．3多项式矩阵的不变多项式与初等因子•相抵的条件（155）
§2初等因子的解析理论………………………………………………………………… 161
2．1线性二项式的等价性（161）2．2矩阵相似的判定（162）2．3矩阵的标准形（163）
第五章二次型
§1二次型和它的标准形式……………………………………………………………… 167
1．1二次型和它的变换（167）1．2二次型的秩数（177）3．3惯性定律•实二次型的分类（180）1．4二次型的分解（188）1．5齐次多项式与齐次函数（189）
§2基于矩阵理论对二次型的研究……………………………………………………… 192
2．1在线性变换下二次型的矩阵的变换•化二次型为标准形式的初等变换法（192）2．2化二次型为标准形式的雅可比的方法（195）
第二部分线性代数的几何理论
第六章线性方程组的几何理论
§1线性方程组理论……………………………………………………………………… 198
1．1二元一次线性方程组及其解的几何解释（198）1．2数向量及其运算（201） 1．3数向量的线
性相关（203）1．4数向量组的秩（206）1．5线性方程组相容性与有定性条件的第二种表述（207）
1．6矩阵的行秩与列秩•向量组的秩的计算（209）1．7线性方程组相容性与有定性条件的第三种
表述•齐次线性方程组的基础解系（215）
§2行列式的几何理论…………………………………………………………………… 217
2．1二阶和三阶行列式的几何定义（217）2．2 n维平行多面体的有向体积（220）2．3行列式作为平行多面体有向体积的表出式（223）
第七章抽象的线性空间
§1向量空间……………………………………………………………………………… 226
1．1引论•向量空间的概念（226）1．2向量运算的最简单的性质（228）1．3向量组的线性相关
与线性无关（231）1．4 向量集的线性相关与线性无关（233） 1．5向量组的等价（235）1．6
极大线性无关组•向量组的秩（237）
§2向量空间的进一步研究……………………………………………………………… 240
2．1空间的基底（240）2．2坐标•基底变换•坐标变换（241） 2．3向量组秩的计算（244）
2．4线性空间的同构（245）
§3子空间………………………………………………………………………………… 246
3．1子空间（246）3．2线性包•线性流形（248） 3．3子空间的交与和（250）3．4子空间的直接和（253）3．5商空间（256）
§4应用…………………………………………………………………………………… 260
4．1若干矩阵秩定理的几何证明（260）4．2线性方程组的解的集合的几何性质（261）
第八章线性变换
§1线性变换………………………………………………………………………………265
1．1变换在初等几何学中的意义•线性变换的定义（265）1．2线性变换的构造•投影变换和平移变换（266）1．3线性变换的基本运算（269）1．4单位变换•变换的逆•变换的多项式（271） 1．5线性变换的矩阵表出法（273） 1．6线性变换在不同基下的矩阵之间的关系•相似矩阵（277）1．7变换的特征多项式•哈密尔顿-凯莱定理（279）
§2线性变换的几何性质及其代表矩阵的性质…………………………………………281
2．1线性变换的核与值域（281）2．2降秩与满秩的变换（283）2．3变换的同构（285）2．4
变换的矩阵的秩（286）
§3线性映射………………………………………………………………………………287
3．1线性映射（287）3．2相抵矩阵•线性映射的秩（289）3．3西尔维斯特不等式与弗罗贝尼乌斯不等式•行（列）满秩矩阵的性质（292）
第九章n维线性空间中线性变换的结构•初等因子的几何理论
§1用不变子空间研究线性变换的矩阵表示……………………………………………295
1．1子空间关于线性变换的不变性（295）1．2空间分解为不变子空间直接和的情形（298）1．3特征向量与特征值（300）1．4有限维空间中特征向量与特征值的计算（303）1．5单构线性变换与矩阵可对角化的充分必要条件（305）
§2理论的基础：空间的分解……………………………………………………………307
2．1空间的向量（关于已给予线性变换）的最小多项式（307）2．2分解为有互质最小多项式的不变子空间的分解式（308）2．3一个空间对于循环不变子空间的分解式（310）
§3初等因子的几何理论…………………………………………………………………315
3．1矩阵的标准形（315）3．2不变多项式（初等因子）（316）3．3矩阵的若尔当标准形（319）
第十章（实数域上）具有度量的线性空间
§1欧几里得空间概论…………………………………………………………………… 322
1．1引论（322）1．2欧几里得空间的定义•基本度量概念（322）1．3欧式空间的正交基底（327）
1．4欧式空间的同构（328）
§2欧式空间体积的测度………………………………………………………………… 329
2．1向量线性无关线的格拉姆判定•垂线的问题（329）2．2格拉姆行列式的几何意义与一些不等式（333）2．3格拉姆-斯密特正交化的几何解释（337）2．4不相容的线性方程组与最小二乘方法（340）
§3欧几里得空间中的线性变换………………………………………………………… 342
3．1正交矩阵•线性变换的范数（342）3．2两类变换•正交变换（345）3．3两种特殊的正交变换（347）3．4对称变换（354）3．5任意线性变换的表为正交变换与对称变换之积（359）
第十一章二次型函数
§1双线性函数与二次型函数…………………………………………………………… 361
1．1双线性函数的基本概念及其矩阵（361）1．2二次型函数（275）1．3二次型函数的标准形式•双线性函数的标准基底（365）1．4雅可比的求标准基底法（368） 1．5线性变换与双线性函数的关系（370）
§2欧式空间中的二次型函数…………………………………………………………… 372
2．1关于二次型函数的基本定理•正交归一标准基底及其对应的标准形式的唯一性（372）2．2二次型函数的极值性质（374）2．3在子空间里的二次型函数（375）2．4有关二次型函数耦的问题及其解答（379）
主要参考文献………………………………………………………………………………382
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