论坛 › 难题征解 › 参数有理化表示

mathe 发表于 2018-12-8 08:54:48

先可以在单位球上找两个点内积为c作为后两点。接下去找第一个点，它只需要满足两个一次方程和一个二次方程。从两个一次方程可以将两个变量表示为第三个的线性形式代入第一式就是一个关于第三个变量的二次方程，解之即可

数学星空 发表于 2018-12-8 09:00:11

由于几何模型可以根据对称性建立坐标系，因此可以很容易得到一个特解
\(m_1=\frac{a^2+b^2-2ab-ac-bc+a+b+2c-2}{\sqrt{2(c-1)(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc+2a+2b+2c-3)}},
n_1=\frac{a-b}{2\sqrt{1-c}},
p_1=\frac{\sqrt{-(a^2+b^2+c^2-2abc-1)}}{\sqrt{-2(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc+2a+2b+2c-3)}}\)

\(m_2=\frac{(a+b-c-1)\sqrt{1-c}}{\sqrt{-2(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc+2a+2b+2c-3)}},
n_2=\sqrt{\frac{1-c}{2}},
p_2=\frac{\sqrt{-(a^2+b^2+c^2-2abc-1)}}{\sqrt{-2(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc+2a+2b+2c-3)}}\)

\(m_3=\frac{(a+b-c-1)\sqrt{1-c}}{\sqrt{-2(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc+2a+2b+2c-3)}},
n_3=-\sqrt{\frac{1-c}{2}},
p_3=\frac{\sqrt{-(a^2+b^2+c^2-2abc-1)}}{\sqrt{-2(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc+2a+2b+2c-3)}}\)

mathe 发表于 2018-12-8 09:02:01

可以选择第三个点(1,0,0)，第二个点$(c,sqrt(1-c^2),0)$,可以轻松求出第一个点

zeroieme 发表于 2018-12-8 09:41:37

mathe 发表于 2018-12-8 08:54
先可以在单位球上找两个点内积为c作为后两点。接下去找第一个点，它只需要满足两个一次方程和一个二次方程 ...

mathe上线了，请教存在让\(\left(2 k+1\right)\)与\(\left(1-a^2-k^2\right)\)同时成为完全平方有理式的可能吗

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