有理方程求解
如下：\(4 u^2 + v^4 = 3 + 2 v^2\) Wolfram Alpha给的一堆东西就是没有结果:( 由于$4 u^2= - v^4 + 3 + 2 v^2 = (3-v^2)(1+v^2) <=4$ ，排除平凡解，$u=+-1,v=+-1$,
设$u=b/a,v=q/p$,不可约，那么$b<a,q<p$,$4b^2p^4=a^2(3p^2-q^2)(p^2+q^2)$, 也就是
\begin{array}{c}
a=p^2 x \\
\left(3 p^2-q^2\right) \left(p^2+q^2\right)=b^2 y \\
x^2 y=4 \\
\end{array}
因为如果$y=1,x=2$，那么$gcd(a,b)=2$，所以只可能$x=1,y=4$
\begin{array}{c}
a=p^2 \\
4a^2-(a-q^2)^2=4b^2\\
\end{array}
勾股万能公式套进去，得到两个形式
1）\begin{array}{c}
a=p^2=m^2+n^2 \\
b=2mn \\
q^2=3n^2-m^2\\
\end{array}
2）\begin{array}{c}
a=p^2=m^2+n^2 \\
b=m^2-n^2 \\
q^2=m^2-4mn+n^2\\
\end{array}
FullSimplify]
FullSimplify]
FullSimplify]
FullSimplify]
也就说，主要是分别看下面的方程是否有正整数解
\[x^4 - 8 x^3 y + 2 x^2 y^2 + 8 x y^3 + y^4=q^2\\
3 x^4 - 10 x^2 y^2 + 3 y^4=q^2\\
-x^4 + 14 x^2 y^2 - y^4=q^2\]
搞不动了，逃。。。
。 需要转化为椭圆曲线 wayne 发表于 2018-12-10 10:32
由于$4 u^2= - v^4 + 3 + 2 v^2 = (3-v^2)(1+v^2)
令u,v满足如下变换
\
其中，x,y满足$y^2=x^{3}-x^{2}+x$.
该椭圆曲线秩为0，只有四个整点$\left[\pm1,\pm1\right]$.
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