连续自然数的幂的和等于自然数的幂
给定从小到大依次排列的连续\(n\)个自然数，已知存在自然数\(u\)和自然数\(v\)，使得取这\(n\)个数中前\(n-1\)个数每一个的\(u\)次幂，再取这些幂的和，结果正好等于这\(n\)个数中最后一个数的\(v\)次幂，求所有可能的解。已经知道\(3^2+4^2=5^2\)，\(3^3+4^3+5^3=6^3\)
只有上边两组解。 如果不连续，前边的个数与次数一致时，或许有很多解。 n 3
6 216
9 729
12 1728
18 5832
19 6859
20 8000
24 13824
25 15625
27 19683
28 21952
29 24389
30 27000
36 46656
38 54872
40 64000
41 68921
42 74088
44 85184
45 91125
46 97336
48 110592
50 125000
53 148877
54 157464
56 175616
57 185193
58 195112
60 216000
63 250047
66 287496
67 300763
69 328509
70 343000
71 357911
72 373248
75 421875
76 438976
78 474552
80 512000
81 531441
82 551368
84 592704
85 614125
87 658503
88 681472
89 704969
90 729000
92 778688
93 804357
95 857375
96 884736
97 912673
99 970299
100 1000000
102 1061208
105 1157625
106 1191016
108 1259712
110 1331000
112 1404928
113 1442897
114 1481544
116 1560896
120 1728000
123 1860867
134 2406104
1392685619
这是齐次不不定方程a^3+b^3+c^3=n^3,当a，b，c小于等于100时，所有有解的n值。
某乎有个问题讲的连续自然数立方和为立方数
https://www.zhihu.com/question/505806181/answer/2270814119
@陈漱文给出了一个公式
\[\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{k^{3}}\left(n+\frac{k^{4}-3k^{3}-2k^{2}-2}{6}\right)^{3}&=&\left(\frac{k\left(k^{2}-1\right)\left(k^{2}+2\right)}{6}\right)^{3}
\end{eqnarray*}\]
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