结式（Sylvester行列式）的化简问题
本帖最后由 葡萄糖 于 2019-2-24 19:58 编辑三次挠曲线\(\boldsymbol{a}\left(\,t\,\right)=\{\,t,\,t^2,\,t^3\,\}\)切线面的参数方程为
\[\boldsymbol{r}\left(u,v\right)=\{\,u,\,u^2,\,u^3\,\}+v\,\{\,1,\,2u,\,3u^2\,\}=\{\,u+v,\,u^2+2uv,\,u^3+3u^2v\,\}\]
写成空间直角坐标系下坐标的参数方程形式为
\begin{cases}
x=u+v\\
y=u^2+2uv\\
z=u^3+3u^2v\\
\end{cases}
为了求得切线面的隐函数形式\(F(x,y,z)=0\)，则消去直纹面的线参数\(v\)，得到两个仅还有参数\(u\)的方程组；
\begin{align*}
\{\,t,\,t^2,\,t^3\,\}\quad
&\longmapsto\quad
\begin{cases}
\begin{split}
&x=u+v\\
&y=2uv+u^2\\
&z=3u^2v+u^3
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow\quad
\begin{cases}
\begin{split}
&y=2ux-u^2\\
&z=3u^2x-2u^3
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow\quad
\begin{cases}
\begin{split}
u^2-2xu+y&=0\\
2u^3-3xu^2+z&=0
\end{split}
\end{cases}\\
\end{align*}
利用结式可以得到切线面的隐函数形式\(-3x^2y^2+4y^3+4x^3z-6xyz+z^2=0\)；
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
1&-2x&y&&\\
&1&-2x&y&\\
&&1&-2x&y\\
2&-3x&0&z&\\
&2&-3x&0&z
\end{vmatrix}
&=-3x^2y^2+4y^3+4x^3z-6xyz+z^2\\
&\overset{?}{=}{\color{red}{\left(xy-z\right)^2-4\left(x^2-y\right)\left(y^2-xz\right)}\,}
\end{align*}
可是如何得到与它等价的“简洁形式”呢？\(\color{red}{\left(xy-z\right)^2-4\left(x^2-y\right)\left(y^2-xz\right)=0}\)
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
(1+z)&-2(x-y)&2(1-z)&-2(x+y)&(1+z)&&&\\
&(1+z)&-2(x-y)&2(1-z)&-2(x+y)&(1+z)&&\\
&&(1+z)&-2(x-y)&2(1-z)&-2(x+y)&(1+z)&\\
&&&(1+z)&-2(x-y)&2(1-z)&-2(x+y)&(1+z)\\
(x-y)&4z&6y&-4z&-(x+y)&&&\\
&(x-y)&4z&6y&-4z&-(x+y)&&\\
&&(x-y)&4z&6y&-4z&-(x+y)&\\
&&&(x-y)&4z&6y&-4z&-(x+y)\\
\end{vmatrix}&=\,?\\
\end{align*}
另外，最后这个Sylvester行列式有没有简洁的形式呢？
（简洁的形式？分解为两个多元可约多项式的代数和？）
【注】最后一个Sylvester行列式可以利用schur降阶定理化为四个分块矩阵的行列式求解，可是还是得不到想要的“简洁形式”。
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