求证：(n+1)/n<\sqrt[n]{3}<(n+2)/n
本帖最后由 王守恩 于 2019-5-21 12:32 编辑求证：\(\frac{n+1}{n}<\sqrt{3}\leqslant \frac{n+2}{n}\ \ \ \ \ n=1, 2, 3, 4, 5, ...\)
改为求证，对于$0<=x<=1$, $1+x<=3^x<=1+2x$
设$f(x)=3^x-x-1, g(x)=3^x-2*x-1$
所以$f(0)=0,f(1)>0, g(0)=0,g(1)=0$
$f'(x)=3^x*ln(3)-1, g'(x)=3^x ln(3)-2$
所以$f'(0)=ln(3)-1>0, g'(0)=ln(3)-2<0, g'(1)=ln(27)-2>0$
$f''(x)=3^x*ln^2(3)>0, g''(x)=f''(x)>0$
所以得出$f'(x)>0$,$f(x)$单调增函数，所以$f(x)>=f(0)>=0$
而$g'(x)$单调增，所以$g(x)$先减后增，所以$g(x)<=0$ 能用非初等方法的话，这种题都不是菜。我想出题者的意图会不会是要求化成
\[\left(1+\frac1n\right)^n\lt3\le\left(1+\frac2n\right)^n\]然后用初等方法来做。
左式用初等方法证明小于 e 是课本上有的吧，右式用二项式公式展开前两项之和就是3。 这样可以吗？
求证：\(\D\frac{n+\ln 3}{n}<\sqrt{3}\leqslant \frac{n+3-\ln 3}{n}\ \ \ \ \ \ n\in \NN\)
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