282842712474 发表于 2009-7-14 18:24:31

求证一道素数的无穷级数

$f(p)=1/2+1/2*2/3+1/2*2/3*4/5+1/2*2/3*4/5*6/7+...++1/2*2/3*4/5*...*{p-1}/p$

其中2,3,5,7,...,p是素数，$p->\infty$

问：f(p)收敛还是发散？如果发散，能否给出求值得上下限？

shshsh_0510 发表于 2009-7-16 17:03:45

1# 282842712474


发散的吧
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0&variant=zh-cn

对每个 ε > 0，都有n > N(ε)使得 $n^{1-\epsilon}<\phi(n)<n$
即 phi(n)/n>C

282842712474 发表于 2009-7-16 17:31:48

是的，已经可以证明是发散的了。研究发现
该级数中的每一项都有
$1/2*2/3*4/5*...*{p-1}/p>=1/p$
而欧拉已经证明了
$\sum_{2}^{\infty}(1/p)->\infty$，其中p是素数

hawkzmy 发表于 2024-5-27 16:27:45

看趋势有渐近线，减去渐近线就是收敛的。怎样找渐近线呢？c:/123.png
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