各位好友这个级数怎么解
各位好友这个级数怎么解 \[\lim_{n\to \infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left(\frac{k}{n}\right)^n}}\] 证明$(1-h/n)^h e^{-h}<(1-h/n)^n<e^{-h}$ 本帖最后由 .·.·. 于 2019-6-20 16:25 编辑
Mathematica告诉我
$\sum _{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^n=\left(\frac{1}{n}\right)^n H_n^{(-n)}$
看看Mathematica做的事情……
先把n^-n提出来
然后我们要求的只剩下$1^n++2^n+...+n^n$
Stolz定理可以轻松求出\的极限是$1$
又可以猜出\的极限是$e^{-i}$
我于是可以很不严谨地猜到\的极限是$\frac{e}{e-1}$
至于具体过程不要问我
就连大一用来做作业的Mathematica都给不出答案
我就更不会了…… https://bbs.emath.ac.cn/thread-14589-1-1.html \(\D\frac{1+2^{5}+3^{5}+\cdots+5^{5}}{5^{5}}=\frac{3.403846}{2.403846}\)
\(\D\frac{1+2^{6}+3^{6}+\cdots+6^{6}}{6^{6}}=\frac{3.274238}{2.274238}\)
\(\D\frac{1+2^{7}+3^{7}+\cdots+7^{7}}{7^{7}}=\frac{3.185850}{2.185850}\)
\(\D\frac{1+2^{8}+3^{8}+\cdots+8^{8}}{8^{8}}=\frac{3.121712}{2.121712}\)
\(\D\frac{1+2^{9}+3^{9}+\cdots+9^{9}}{9^{9}}=\frac{3.073048}{2.073048}\)
\(\D\cdots\cdots\)
\(\D\frac{1+2^{n}+3^{n}+\cdots+n^{n}}{n^{n}}=\frac{e}{e-1}\) 由$log (1+x)<x$,所以$log(1+x/(1-x))<x/(1+x)$,既$log(1-x)>-x/(1-x)$
$x=-h/n$代入第一式得$(1-h/n)^n<exp(-h),x=h/n$代入第二式可得$(1-h/n)^(n-h)>exp(-h)$.
原式做替换k=n-h,代入然后使用这两个不等式两边夹即可 ，在n趋向无穷时可得结果。 本帖最后由 dlpg070 于 2019-6-27 20:20 编辑
有关级数求和取极限的有趣的问题,
将学习心得汇报 :
我试着进行了问题的扩展
原式扩展 m = 0, 1, 2, ...
原式扩展 = \(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{k=1}^{m+n} \left(\frac{k}{n}\right)^n\right)\)
=\(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{h=-m}^{n-1} \left(1 - \frac{h}{n}\right)^n\right)\)
= \(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{h=-m}^{n-1} \left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(1-\frac{h}{n}\right)^n\right)\right)\)
= e^(m+1)/(e-1)
代码 :只有3行,显示不理想,放弃,只给出结果
m= 0 极限: E/(-1+E) = 1.5819767
m= 1 极限: E^2/(-1+E) = 4.3002585
m= 2 极限: E^3/(-1+E) = 11.689315
m= 3 极限: E^4/(-1+E) = 31.774852
m= 4 极限: E^5/(-1+E) = 86.373002
本帖最后由 dlpg070 于 2019-6-27 18:20 编辑
回复:各位好友这个级数
m=0 e/(e-1) 由下向上逼近极值
m=1 e^2/(e-1) 先由上向下到小于极值,再缓慢由下向上逼近极值
扩展极值公式正确.
演示m = 0 , m = 1 极限的渐进过程
tmp.png
本帖最后由 dlpg070 于 2019-6-28 17:06 编辑
dlpg070 发表于 2019-6-27 17:27
有关级数求和取极限的有趣的问题,
将学习心得汇报 :
我试着进行了问题的扩展
代码:(刚刚学会mma-->论坛复制代码,样子有点丑 !)
\(\text{fm}(\text{m$\_$})\text{:=}\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{h=-m}^{n-1} \left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(1-\frac{h}{n}\right)^n\right)\right);\)
tm=Table[{"m=",i," 极限:",fm," =",N,8],"\n"},{i,0,4}];
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