求三角形ABC的面积(有点难)
如图，三角形ABC中, 角B=45°, AE=CD且AE⊥CD,三角形BDE面积等于30，
BE:EC=5:6,
求三角形ABC的面积。
我用的是解析几何的办法, 不知道还有没有别的办法, 这个办法,让我手算, 估计我自己算不出来!
(*求△ABC的面积(有点难) *)
(*把B放在原点, 假设C点的坐标是(11c, 0), 那么E点(5c, 0),
由于∠B=45°, 可假设D(d, d), A(a, a), 计算出向量CD, 向量EA,
利用向量的长度相等, 向量内积等于零(垂直), 以及△BDE的面积=30,
列出三个方程, 然后求解三个未知数*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
out=Grid@FullSimplify@Solve[
{
(*向量EA与向量CD长度相等*)
(a-5c)^2+(a-0)^2==(d-11c)^2+(d-0)^2,
(*向量EA与向量CD内积等于零*)
(a-5c)(d-11c)+(a-0)(d-0)==0,
(*△BDE面积=30*)
1/2*d*5c==30,
(*过滤条件*)
a>0, c>0
},
{c,d,a}]
求解结果
\[
\begin{array}{ccc}
c\to 2 & d\to 6 & a\to 16 \\
\end{array}
\]
如图，AE丄CD 将其交点 F 约束在半圆AC截于△ABC内的GH弧段。
当F从G滑动到H时，相应地E从G滑动到B，D从B滑动到H，
记∠EAG=∠DCB=θ, 以A为极坐标系原点，AG为极轴，则
`ρ_{AE}(θ)`在极坐标系中的图线即线段GB
`ρ_{CD}(θ)`在极坐标系中的图线即线段B’H’（图中红线）
（等腰直角△AB'H'为等腰直角△CBH旋转而至）
由于两线段最多只有一个交点，故使得AE=CD的点 F 位置是唯一的。
由AB’=CB, AG=BG得 CG=GB’， 又GB’=EG，所以 EG=GC。
于是设 $BE=5x，EC=6x$，则
$EG=GC=3x, BG=BE+EG=8x, BD=B'E=3\sqrt2x, AB=8\sqrt2x$，
所以
\(\D\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle BDE}}=\frac{AB\cdot BC}{BD\cdot BE}=\frac{88}{15}\longrightarrow S_{\triangle ABC}=\frac{88}{15}S_{\triangle BDE}=176\) 设AE,CD交于F,三角形ABC面积为S。而三角形BCD面积为66, 所以BD/AB=66/S
三角形ADE的面积为${5S}/11-30$,三角形AFC面积为${6S}/11$,所以$DF:FC={5S}/11-30:{6S}/11=5S-330:6S$
同样我们还可以得出$EF:FA=36:S-66$。
现在设$a=AE=CD$,于是$EF={36a}/{S-30}$, 其中$S-30=a^2/2$, 所以$EF=72/a，FA={S-66}/36*72/a={2(S-66)}/a$
同样$DF={5S-330}/{11S-330}a={2(5S-330)}/{11a}, FC={12S}/{11a}$, 后面还得使用勾股定理计算AD,CE,再根据比例计算BD,EC,最后在三角形BDE中使用正弦定理计算其面积可以得出关于变量a的方程，还是挺麻烦的 为简化坐标，先不考虑三角形BDE面积等于30这个条件（这个条件独立于其他条件），以E为原点，BC为横轴建立坐标系。
假设$B(-5,0),C(6,0),A(x_0,k*x_0),D(x_1,y_1).$
那么由角B=45°知$y_1=x_1+5,k*x_0=x_0+5$,
由AE=CD且AE垂直于CD,知$6-x_1=k*x_0,y_1=-1/k(x_1-6)=x_0,$
所以$x_0=x_1+5,x_0+x_1=1$,即$x_0=3,x_1=-2$,即$(BD)/(AB)=3/8.$
所以$(△ABC)/(△BDE)=(BC)/(BE)*(AB)/(BD)=11/5*8/3=88/15.$
lsr314 发表于 2019-8-30 20:16
为简化坐标，先不考虑三角形BDE面积等于30这个条件（这个条件独立于其他条件），以E为原点，BC为横轴建立坐 ...
最让我能理解的，就是解析几何的办法，直接列方程组，然后把方程交给mathematica计算！
记A、D在BC上的投影（垂足）为G、F，
易得RT△AGE≌RT△CFD → AG=CF，EG=DF
又AG=BG → BG=CF → BF=GC, 加上BF=DF →EG=GC。
于是设BE=5a, 则EC=6a, EG=GC=BF=DF=3a,
三角形BDE面积=3a·5a/2=30,得a=2
三角形ABC面积=BC·AG/2=22·16/2=176
如图，视CD为AE旋转90度而得，对应点为A→D、E→C，
记AE与CD的交点为G（图中未标）。
分别作以AD，EC为直径的圆（图中未画出），得异于G的交点F即为旋转中心。
按90⁰的旋转关系，知⊿AFD, ⊿EFC为等腰直角⊿。
故当∠B=45⁰时，有平行四边形BEFD, 及
(∠AFE=∠DFC=∠AFC=135⁰，所以△AFE≌△DFC≌△AFC，这不重要）
BD=EC/√2, DA=BE√2
mathematica 发表于 2019-8-29 14:21
我用的是解析几何的办法, 不知道还有没有别的办法, 这个办法,让我手算, 估计我自己算不出来!
论坛有bug，
第14行代码，原来应该是
1/2*d*5c==30,
结果被修改成了
1/2·d·5c==30,
难怪我运行结果不对！ nyy 发表于 2023-8-7 14:53
论坛有bug，
第14行代码，原来应该是
1/2*d*5c==30,
你在进步, 会有出息的。
\(\D\frac{S△ABC}{S△BDE}=\frac{S}{30}=\frac{BC*AG}{BE*DF}=\frac{BC*CF}{BE*BF}=\frac{11a*8a}{5a*3a}\ \ \ \ =>S=176\)
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