论坛 › 开心茶馆 › 会出现规律吗？

王守恩 发表于 2019-10-28 20:59:48

会出现规律吗？

已知整数序列 `a_0=0,a_1,a_2,...,a_i,...,a_n` 满足\(|a_{n+1}|=|a_n+1|\).
求序列之和的绝对值\[|S_n|=|a_0+ a_1+a_2+...+a_n|\]的最小值。

王守恩 发表于 2019-10-29 19:46:03

前面几项是这样的。
\(\mid S_{1}\mid=1\)
\(\mid S_{2}\mid=1\)
\(\mid S_{3}\mid=0\)
\(\mid S_{4}\mid=2\)
\(\mid S_{5}\mid=1\)
\(\mid S_{6}\mid=1\)
\(\mid S_{7}\mid=2\)
\(\mid S_{8}\mid=0\)
\(\mid S_{9}\mid=3\)
会出现规律吗？

northwolves 发表于 2019-10-30 00:44:04

Sn最小值0

目测$Sn^2$=n

northwolves 发表于 2019-10-30 01:18:52

设$n=p^2+q$
$Sn=frac{(1+(-1)^q)*p-(-1)^q*q}{2}+frac{1-(-1)^q}{4}=frac{2p+1+(-1)^q(2p-1-2q)}{4}$

王守恩 发表于 2019-10-30 23:53:07

本帖最后由 王守恩 于 2019-10-30 23:56 编辑

northwolves 发表于 2019-10-30 01:18
设$n=p^2+q$
$Sn=frac{(1+(-1)^q)*p-(-1)^q*q}{2}+frac{1-(-1)^q}{4}=frac{2p+1+(-1)^q(2p-1-2q)}{4}$

可以归到 “爬楼梯” 问题。
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=0，a(n+1)=a(n) - a(n-1) - a(n-2)

王守恩 发表于 2019-10-31 14:02:44

本帖最后由 王守恩 于 2019-10-31 17:14 编辑

northwolves 发表于 2019-10-30 01:18
设$n=p^2+q$
$Sn=frac{(1+(-1)^q)*p-(-1)^q*q}{2}+frac{1-(-1)^q}{4}=frac{2p+1+(-1)^q(2p-1-2q)}{4}$

\(\D S_{n}=\frac{\cos\big((n-\lfloor\sqrt{n}\rfloor)\ \pi\big)\big(\lfloor\sqrt{n}\rfloor^2+\lfloor\sqrt{n}\rfloor-n-1/2\big)+\lfloor\sqrt{n}\rfloor+1/2}{2}\)

Sn=0, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 0, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 0, 4, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 4, 0,
      5, 1, 4, 2, 3, 3, 2, 4, 1, 5, 0, 6, 1, 5, 2, 4, 3, 3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7,
      1, 6, 2, 5, 3, 4, 4, 3, 5, 2, 6, 1, 7, 0, 8, 1, 7, 2, 6, 3, 5, 4, 4, 5, 3,
      6, 2, 7, 1, 8, 0, 9, 1, 8, 2, 7, 3, 6, 4, 5, 5, 4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 0,

王守恩 发表于 2019-11-12 15:08:09

本帖最后由 王守恩 于 2019-11-12 15:21 编辑

A=0,1,2,3,4,5,...，a1=±A，
已知整数序列：a1,a2,a3,...,ai,...,an， 满足 | a(n+1) |=| an+1 |
S(n*a1)=| a1+a2+a3+...+ai+...+an | 表示序列之和的最小值。

S(n*a1)\(=\frac{\cos\big((n+A-\lfloor\sqrt{n+A^2-1}\rfloor)\pi\big)\big(n+A^2-(\lfloor\sqrt{n+A^2-1}\rfloor+1/2)^2-1/4\big)+\lfloor\sqrt{n+A^2-1}\rfloor+1/2}{2}\)

王守恩 发表于 2019-11-15 18:53:23

王守恩 发表于 2019-11-12 15:08
A=0,1,2,3,4,5,...，a1=±A，
已知整数序列：a1,a2,a3,...,ai,...,an， 满足 | a(n+1) |=| an+1 |
S(n*a1 ...

7 楼的公式太长了，化简一下。

A=0,1,2,3,4,5,...，a1=±A，
已知整数序列：a1,a2,a3,...,ai,...,an， 满足 | a(n+1) |=| an+1 |
S(n*A)=| a1+a2+a3+...+ai+...+an | 表示序列之和的最小值。

\(\D S(n*A)=\bigg|\frac{n+A^2-\bigg(\big\lbrack\frac{n+A^2-\sqrt{n+A^2}}{2}\big\rbrack-\big\lbrack\frac{n+A^2-\sqrt{n+A^2}}{2}\big\rbrack\bigg)^2}{2}\bigg|\)

王守恩 发表于 2025-1-12 07:22:22

OEIS——A088226——还是没有通项公式。

northwolves 发表于 2025-1-12 17:10:55

王守恩 发表于 2025-1-12 07:22
OEIS——A088226——还是没有通项公式。

(PARI) a(n)=t=sqrtint(n); if((n-t*t)%2==0, (n-t*t)/2, ((t+1)^2-n)/2) \\ Ralf Stephan, Sep 23 2013

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