怎么找等周长的本原勾股三角形

葡萄糖 发表于 2019-11-18 19:24:01

怎么找等周长的本原勾股三角形
例如：
{119, 7080, 7081}
{3255, 5032, 5993}
{168, 7055, 7057}
这三个直角三角形的周长都是14280
【"本原"的含义是三边的最大公因数为1】

northwolves 发表于 2019-11-18 22:36:55

本原勾股数组A,B,C,满足以下关系:

C为奇数，A,B一奇一偶，不妨令$A=mn$,m,n为互质的两个奇数且$m>=n$

那么$B=(m^2−n^2)/2,C=(m^2+n^2)/2$

设周长为P

则有 $mn+(m^2−n^2)/2+(m^2+n^2)/2=mn+m^2=m(m+n)=P$

所以将周长P分解质因数即可穷举全部解

northwolves 发表于 2019-11-18 23:08:48

由$mn+m^2=P$,可得$m=(sqrt(n^2+4P)-n)/2$
由于$m(m+n)>=2n^2=P$,故$n<=sqrt(p/2)$
本题$P=14280$,故$n<=85$,$n^2+4P$为平方数筛选得$n=1,31,83$，对应$m=119,105,85$,$mn=119,3255,7055$

northwolves 发表于 2019-11-19 00:00:30

$x^2+4p=y^2$有什么好的解法？

mathematica 发表于 2019-11-19 11:20:57

northwolves 发表于 2019-11-18 22:36
本原勾股数组A,B,C,满足以下关系:

C为奇数，A,B一奇一偶，不妨令$A=mn$,m,n为互质的两个奇数且$m>=n$

Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
out={x,y,z}/.{ToRules@Reduce};
Select],#[],#[]]==1&]

我只会这个解法
{{119, 7080, 7081}, {168, 7055, 7057}, {3255, 5032, 5993}}

mathematica 发表于 2019-11-19 11:23:02

888880244
只有一个本原解
{{219246636, 298924723, 370708885}}

王守恩 发表于 2019-11-21 08:07:25

本帖最后由王守恩于 2019-11-21 08:09 编辑

$4060420^2+109478589^2=109553861^2\ 4060420+109478589+109553861=223092870$
$15127629^2+103432420^2=104532821^215127629+103432420+104532821=223092870$
$28377492^2+ 95289845^2=99425533^2\ \ \ 28377492+95289845+99425533=223092870$
$35813645^2+90215268^2=97063957^2\ \ \ 35813645+90215268+97063957=223092870$
$38540645^2+88251828^2=96300397^2\ \ \ 38540645+88251828+96300397=223092870$
$54658212^2+75348845^2=93085813^2\ \ \ 54658212+75348845+ 93085813=223092870$
$56605461^2+73620820^2=92866589^2\ \ \ 56605461+73620820+92866589=223092870$
$64408461^2+66270820^2=92413589^2\ \ \ 64408461+66270820+92413589=223092870$

王守恩 发表于 2019-11-21 10:20:39

本帖最后由王守恩于 2019-11-21 10:50 编辑

王守恩发表于 2019-11-21 08:07
$4060420^2+109478589^2=109553861^2\ 4060420+109478589+109553861=223092870$
$15127629^2+10343242 ...

怎么找等周长的本原勾股三角形。
等周长=2A=a1*a2*a3*....，满足GCD(a1,a2,a3,....)=1 A可以是奇数
取2A中的一部分数相乘= \(n$，满足$\D\sqrt{2A\ }>n>\frac{\sqrt{2A\ }}{2}$
$\D A=n*\frac{A}{n}=n*(n+(\frac{A}{n}-n))=n*(n+\frac{A-n^2}{n})$
1，本原勾股三角形。
$\D\bigg (n^2+(\frac{A-n^2}{n})^2\bigg)^2=\bigg (n^2-(\frac{A-n^2}{n})^2\bigg)^2+\bigg(2n\frac{A-n^2}{n}\bigg)^2$
2，等周长。
$n^2+(\frac{A-n^2}{n})^2+n^2-(\frac{A-n^2}{n})^2+2n\frac{A-n^2}{n}=2A$

葡萄糖 发表于 2019-11-26 13:13:12

本帖最后由葡萄糖于 2019-11-26 16:56 编辑

A024408
Perimeters of more than one primitive Pythagorean triangle.
https://oeis.org/A024408

\begin{align*}
\color{black}{
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
a+b+c&
\begin{split}
\boxed{\gcd{\left(a,b,c\right)}=1}\\
a^2+b^2=c^2\,\,\,\,
\end{split}&
\begin{split}
\boxed{\gcd{\left(a,b,c\right)}\ne1}\\
a^2+b^2=c^2\,\,\,\,
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
1716
\end{split}&
\begin{split}
195^2 + 748^2 &= 773^2\\
364^2 + 627^2 &= 725^2
\end{split}
&
\begin{split}
143^2 + 780^2 &= 793^2\\
264^2 + 702^2 &= 750^2\\
429^2 + 572^2 &= 715^2\\
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
2652
\end{split}&
\begin{split}
51^2 + 1300^2 &= 1301^2\\
340^2 + 1131^2 &= 1181^2
\end{split}
&
\begin{split}
624^2 + 918^2 &= 1110^2\\
663^2 + 884^2 &= 1105^2
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
3876
\end{split}&
\begin{split}
627^2 + 1564^2 &= 1685^2\\
988^2 + 1275^2 &= 1613^2
\end{split}
&
\begin{split}
408^2 + 1710^2 &= 1758^2\\
969^2 + 1292^2 &= 1615^2
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
3960
\end{split}&
\begin{split}
88^2 + 1935^2 &= 1937^2\\
935^2 + 1368^2 &= 1657^2
\end{split}
&
\begin{split}
330^2 + 1800^2 &= 1830^2\\
360^2 + 1782^2 &= 1818^2\\
396^2 + 1760^2 &= 1804^2\\
660^2 + 1584^2 &= 1716^2\\
693^2 + 1560^2 &= 1707^2\\
720^2 + 1540^2 &= 1700^2\\
792^2 + 1485^2 &= 1683^2\\
990^2 + 1320^2 &= 1650^2\\
1056^2 + 1260^2 &= 1644^2
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
4290
\end{split}&
\begin{split}
65^2 + 2112^2 &= 2113^2\\
1248^2 + 1265^2 &= 1777^2
\end{split}
&
\begin{split}
572^2 + 1815^2 &= 1903^2\\
660^2 + 1755^2 &= 1875^2\\
715^2 + 1716^2 &= 1859^2\\
1144^2 + 1365^2 &= 1781^2
\end{split}\\
\hline
\end{array}
}
\end{align*}

A009129
Perimeter of more than one Pythagorean triangle.
https://oeis.org/A009129

\begin{align*}
\color{black}{
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
a+b+c&
\begin{split}
\boxed{\gcd{\left(a,b,c\right)}=1}\\
a^2+b^2=c^2\,\,\,\,
\end{split}&
\begin{split}
\boxed{\gcd{\left(a,b,c\right)}\ne1}\\
a^2+b^2=c^2\,\,\,\,
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
60
\end{split}&
\begin{split}
\varnothing
\end{split}
&
\begin{split}
10^2 + 24^2 &= 26^2\\
15^2 + 20^2 &= 25^2
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
84
\end{split}&
\begin{split}
12^2 + 35^2 &= 37^2
\end{split}
&
\begin{split}
21^2 + 28^2 &= 35^2
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
90
\end{split}&
\begin{split}
9^2 + 40^2 &= 41^2
\end{split}
&
\begin{split}
15^2 + 36^2 &= 39^2
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
120
\end{split}&
\begin{split}
\varnothing
\end{split}
&
\begin{split}
20^2 + 48^2 &= 52^2\\
24^2 + 45^2 &= 51^2\\
30^2 + 40^2 &= 50^2
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
132
\end{split}&
\begin{split}
11^2 + 60^2 &= 61^2
\end{split}
&
\begin{split}
33^2 + 44^2 &= 55^2
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
144
\end{split}&
\begin{split}
16^2 + 63^2 &= 65^2\\
\end{split}
&
\begin{split}
36^2 + 48^2 &= 60^2
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
168
\end{split}&
\begin{split}
\varnothing
\end{split}
&
\begin{split}
21^2 + 72^2 &= 75^2\\
24^2 + 70^2 &= 74^2\\
42^2 + 56^2 &= 70^2
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
180
\end{split}&
\begin{split}
\varnothing
\end{split}
&
\begin{split}
18^2 + 80^2 &= 82^2\\
30^2 + 72^2 &= 78^2\\
45^2 + 60^2 &= 75^2
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
210
\end{split}&
\begin{split}
\varnothing
\end{split}
&
\begin{split}
35^2 + 84^2 &= 91^2\\
60^2 + 63^2 &= 87^2
\end{split}\\
\hline
\begin{split}
240
\end{split}&
\begin{split}
15^2 + 112^2 &= 113^2
\end{split}
&
\begin{split}
40^2 + 96^2 &= 104^2\\
48^2 + 90^2 &= 102^2\\
60^2 + 80^2 &= 100^2
\end{split}\\
\hline
\end{array}
}
\end{align*}

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