论坛 › 小题大作 › 七根火柴求面积

dlpg070 发表于 2020-4-8 16:20:56

我的没有化简的精确解

\(\text{s=s1+s2+s3+s4+s5=}\cot \left(\frac{3 \pi }{14}\right) \sin ^2\left(\frac{\pi }{14}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{14}\right) \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right) \left(2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right) \cos \left(\frac{\pi }{14}\right)-\cos \left(\frac{\pi }{14}\right)-\cot \left(\frac{3 \pi }{14}\right) \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right) \left(-2 \cos \left(\frac{\pi }{14}\right) \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)+\frac{1}{2} \cot \left(\frac{\pi }{14}\right)-\frac{1}{2} \tan \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+\frac{1}{4} \tan \left(\frac{\pi }{7}\right)\)

s=0.678458505663642622188599178949309095780966160493159249040360(数值解精度可选)

dlpg070 发表于 2020-4-9 10:30:48

本帖最后由 dlpg070 于 2020-4-9 10:48 编辑

dlpg070 发表于 2020-4-8 16:20
我的没有化简的精确解

\(\text{s=s1+s2+s3+s4+s5=}\cot \left(\frac{3 \pi }{14}\right) \sin ^2\left(\ ...

中学生方法的简单,精确,比解方程的方法要好!
我曾用解方程方法 求解角度alpha,BD=a,DF=b
再解方程求2条直线的交点,例如R点
结果发现
1 a 是复数解,有误差10^(-17)
数值解 a=0.801938 +7.40149*10^-17 I    , b=0.445042 +0. I
2 R 坐标有相关关联的误差10^(-16)
pR={1.94986,-8.18817*10^-16}
应该:
pR={1.94986,0}
误差虽然很小,但优劣显然

王守恩 发表于 2020-4-9 12:39:38

本帖最后由 王守恩 于 2020-4-9 19:01 编辑

dlpg070 发表于 2020-4-8 11:27
中学生方法求面积:已验证,只用了三角函数
alpha =Pi/7;
x=1


7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α
模样没变，往前走：7根换成9，11，13，15，......
简单算起。
3根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(∠α=\frac{\pi}{3}\)
5根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(∠α=\frac{\pi}{5}\)
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(∠α=\frac{\pi}{7}\)
9根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(∠α=\frac{\pi}{9}\)

请您给3根，5根，7根，9根，11根，13根,....都配个图(跟着7#图走)。谢谢！

dlpg070 发表于 2020-4-9 19:30:58

本帖最后由 dlpg070 于 2020-4-9 21:43 编辑

王守恩 发表于 2020-4-9 12:39
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α
模样没变，往前走：7根换成9，11，13 ...

应要求画 3根火柴 5根火柴7根火柴9根火柴
能画出图,一定知道计算公式,但来不及总结

zeroieme 发表于 2020-4-10 10:08:17

dlpg070 发表于 2020-4-9 19:30
应要求画 3根火柴 5根火柴7根火柴9根火柴
能画出图,一定知道计算公式,但来不及总结

当火柴趋向无穷根，面积应当有个极限。

lsr314 发表于 2020-4-10 11:24:44

zeroieme 发表于 2020-4-10 10:08
当火柴趋向无穷根，面积应当有个极限。

这个极限应该就是1/2.即火柴围成的面积占整个大三角形面积的一半。下图是n=15的时候，面积比是0.53353.

lsr314 发表于 2020-4-10 11:36:06

如果火柴的长度是1，那么n根火柴围成的面积大约是$s=1/8cot(pi/(2n))$.

王守恩 发表于 2020-4-10 15:40:57

本帖最后由 王守恩 于 2020-4-10 16:17 编辑

lsr314 发表于 2020-4-10 11:36
如果火柴的长度是1，那么n根火柴围成的面积大约是$s=1/8cot(pi/(2n))$.

\(\D\sum_{k=1}^{(m-1)/2}\sin\big(\frac{(2k-1)\pi}{m}\big)*\frac{\sin(\frac{(m-2k)\pi}{2m})}{\sin(\frac{(m-2k+2)\pi}{2m})}*\bigg(\frac{\sin(\frac{\pi}{2m})\sin(\frac{(m-2k+1)\pi}{2m})}{\sin(\frac{2\pi}{2m})\sin(\frac{(m-2k)\pi}{2m})}\bigg)^2\)
m=3，S=0.4330127018922193233818615853764680917357
m=5，S=0.5449068960040206644216000681104640622121
m=7，S=0.6784585056636426221885991789493090957810
m=9，S=0.8206610632070756875691817572731235996389

zeroieme 发表于 2020-4-10 19:02:02

lsr314 发表于 2020-4-10 11:24
这个极限应该就是1/2.即火柴围成的面积占整个大三角形面积的一半。下图是n=15的时候，面积比是0.53353.
...

如果面积比是1/2，火柴围成的面积应当是∞。因为大三角形底恒为1，但高趋向无穷。

lsr314 发表于 2020-4-10 19:20:30

zeroieme 发表于 2020-4-10 19:02
如果面积比是1/2，火柴围成的面积应当是∞。因为大三角形底恒为1，但高趋向无穷。

面积大致是$n/(4pi)$,大致和n成正比。

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