Eliminate消元不如GroebnerBasis，尽量不用分式，这样可以秒出
动画代码
Unevaluated@Manipulate,Blue,Line[{A,C,B}],Dashed,Orange,Line@Table},PlotRange->Sqrt+1],{t,0.001,2Pi}]//.
{a->3,b->2,A->{a Cos,b Sin},B->{-((a^3 Sin)/u),(b^3 Cos)/u},C->{(a (b^2 Cos-u Sin))/v,(b (u Cos+a^2 Sin))/v},u->Sqrt^2+a^4 Sin^2],v->b^2 Cos^2+a^2 Sin^2}
补充内容 (2020-5-15 21:37):
With[{a=3,b=2},{f={a Cos@#,b Sin@#}&,β=ArcTan[-a^2 Sin@α,b^2 Cos@α]},{A=f@α,B=f@β,C=Sec[(α-β)/2]f[(α+β)/2]},
补充内容 (2020-5-15 21:37):
Manipulate,Line@{A,C,B},Line@Table}],{α,.01,2π}]] chyanog 发表于 2020-5-14 21:28
Eliminate消元不如GroebnerBasis，尽量不用分式，这样可以秒出
动画代码
Clear["Global`*"];
ans=Solve[
{
(*根据两个点来计算斜率，xy在椭圆上*)
k==(y-yc)/(x-xc),
(*利用椭圆上的点x y来表达斜率*)
k==-b^2/a^2*x/y
},{x,y}]//FullSimplify
(*A点与B点都在椭圆上*)
aaa=Together]]
(*取得分子*)
bbb=Numerator
(*提取多项式系数*)
ccc=CoefficientList
(*按照韦达定理，乘积等于-1，得到常数项与二次项系数和等于零*)
ddd=ccc[]+ccc[]
\[\left\{\left\{x\to \frac{a^2 k (k \text{xc}-\text{yc})}{a^2 k^2+b^2},y\to \frac{b^2 (\text{yc}-k \text{xc})}{a^2 k^2+b^2}\right\}\right\}\]
\[\frac{-a^2 k^2-b^2+k^2 \text{xc}^2-2 k \text{xc} \text{yc}+\text{yc}^2}{a^2 k^2+b^2}
\]
\[\left\{\text{yc}^2-b^2,-2 \text{xc} \text{yc},\text{xc}^2-a^2\right\}\]
\[-a^2-b^2+\text{xc}^2+\text{yc}^2=0
\]
chyanog 发表于 2020-5-14 21:28
Eliminate消元不如GroebnerBasis，尽量不用分式，这样可以秒出
动画代码
我也想到了GroebnerBasis这个函数，
但是没想到用合并后用分子 chyanog 发表于 2020-5-14 21:28
Eliminate消元不如GroebnerBasis，尽量不用分式，这样可以秒出
动画代码
你算出来的结果中
\[(a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - 2 a^2 x^2 + 2 b^2 x^2 + x^4 + 2 a^2 y^2 -
2 b^2 y^2 + 2 x^2 y^2 + y^4)\]
这个多项式是什么意思？ mathematica 发表于 2020-5-15 14:39
你算出来的结果中
\[(a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - 2 a^2 x^2 + 2 b^2 x^2 + x^4 + 2 a^2 y^2 -
2 b^2 y ...
这个表达式，似乎是椭圆的两个焦点，但是代表什么意义呢？ chyanog 发表于 2020-5-14 21:28
Eliminate消元不如GroebnerBasis，尽量不用分式，这样可以秒出
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我觉得肯定不是增根，肯定有别的意义！ chyanog 发表于 2020-5-14 21:28
Eliminate消元不如GroebnerBasis，尽量不用分式，这样可以秒出
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我拿a=3
b=2
算过，那个多项式解出来的结果正好是椭圆的两个焦点，
但是我不明白焦点为什么满足那些多项式，
当椭圆上的两个点重合，且c点也与这两个点重合的时候，
就会出现椭圆的方程在里求解的多项式里面，这就是那个椭圆的方程的意义 mathematica 发表于 2020-5-15 14:35
\[\left\{\left\{x\to \frac{a^2 k (k \text{xc}-\text{yc})}{a^2 k^2+b^2},y\to \frac{b^2 (\text{y ...
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
ans=Solve[
x^2/a^2+y^2/b^2==1&&(*点在椭圆上*)
k==-b^2/a^2*x/y==(y-yc)/(x-xc),(*根据两点求出斜率，根据椭圆上的点写出这点的切线的斜率,这两个斜率都相等*)
{x,y,k}]//FullSimplify
Grid
(*两个斜率的乘积等于-1*)
Times@@(k/.ans)//FullSimplify
方程组求解结果
\[\begin{array}{lll}
x\to \frac{a^2 \left(\text{yc} \sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}+b^4 \text{xc}^2\right)}{a^2 b^2 \text{xc} \text{yc}^2+b^4 \text{xc}^3} & y\to \frac{a^2 b^2 \text{yc}-\sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}}{a^2 \text{yc}^2+b^2 \text{xc}^2} & k\to \frac{\sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}+b^2 \text{xc}^2 \text{yc}}{b^2 \left(\text{xc}^3-a^2 \text{xc}\right)} \\
x\to \frac{a^2 \left(b^4 \text{xc}^2-\text{yc} \sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}\right)}{a^2 b^2 \text{xc} \text{yc}^2+b^4 \text{xc}^3} & y\to \frac{a^2 b^2 \text{yc}+\sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}}{a^2 \text{yc}^2+b^2 \text{xc}^2} & k\to \frac{b^2 \text{xc}^2 \text{yc}-\sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}}{b^2 \left(\text{xc}^3-a^2 \text{xc}\right)} \\
\end{array}\]
斜率的乘积
\[\frac{b^2-\text{yc}^2}{a^2-\text{xc}^2}=-1\] 蒙日圆，这题！ nyy 发表于 2024-12-20 05:54
蒙日圆，这题！
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
ans=Solve[{
x*xc/a^2+y*yc/b^2==1,(*极线方程,两个点在极线上*)
x*x/a^2+y*y/b^2==1(*椭圆方程,两个点在椭圆上*)
},{x,y}]//Simplify
{{x1,y1},{x2,y2}}={x,y}/.ans(*两个点赋值*)
aa=(y1-yc)/(x1-xc)*(y2-yc)/(x2-xc)-(-1)//Simplify (*计算两个点与C点之间的斜率的乘积,应该等于-1,再减去-1,等于零*)
bb=Numerator@Together(*取得分子,分子就是C点的轨迹*)
两个点分别是
\[\left\{\left\{x\to \frac{a^2 b^2 \text{xc}-\sqrt{a^4 \text{yc}^2 \left(a^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^2 \text{xc}^2\right)}}{a^2 \text{yc}^2+b^2 \text{xc}^2},y\to \frac{b^2 \left(a^4 \text{yc}^2+\text{xc} \sqrt{a^4 \text{yc}^2 \left(a^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^2 \text{xc}^2\right)}\right)}{a^4 \text{yc}^3+a^2 b^2 \text{xc}^2 \text{yc}}\right\},\left\{x\to \frac{a^2 b^2 \text{xc}+\sqrt{a^4 \text{yc}^2 \left(a^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^2 \text{xc}^2\right)}}{a^2 \text{yc}^2+b^2 \text{xc}^2},y\to \frac{b^2 \left(a^4 \text{yc}^2-\text{xc} \sqrt{a^4 \text{yc}^2 \left(a^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^2 \text{xc}^2\right)}\right)}{a^4 \text{yc}^3+a^2 b^2 \text{xc}^2 \text{yc}}\right\}\right\}\]
最后的方程是
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