这类问题，还是用微积分简单自然！
本帖最后由 王守恩 于 2020-5-23 15:39 编辑
dlpg070 发表于 2020-5-22 08:49
回复王守恩,
编码计算已完成,利用 NMinimize 编码,很简单,很快
已采用多种方法验算,你再验算一下,有 ...
是这样吗？
记：\(\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(k^\circ)}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF(k^\circ)}{AB}\bigg)=k^\circ\)
猜想：\(\D\frac{CE(30^\circ)}{CF(30^\circ)}=\frac{CE(60^\circ)}{CF(60^\circ)}\)
本帖最后由 mathematica 于 2020-5-24 08:50 编辑
王守恩 发表于 2020-5-23 07:17
是这样吗？
已知：\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF}{AB}\bi ...
Clear["Global`*"];
(*b=1*)
(*建立坐标系，原点在左下角，45度角放在右上角，坐标是(a,b)*)
k1=(b-y)/(a-0)
k2=(b-0)/(a-x)
(*对应的是45度角*)
kk=(k2-k1)/(1+k2*k1)-1//FullSimplify
(*用x来表示y*)
ans=Flatten@Solve
(*计算长度的平方*)
aaa=x^2+y^2/.ans//FullSimplify
(*求导数，合并成一项，分解因式*)
bbb=D//Factor
(*求导数的零点*)
ccc=Solve//FullSimplify
一个点是(x,0),一个点是(0,y)
你说的对，
EF的平方的函数是：
\[\frac{\left(a^2-2 a x+b^2+x^2\right) \left(a^2+b^2-2 b x+x^2\right)}{(-a-b+x)^2}\]
求导数得到
\[\frac{2 \left(a^2-2 a x+b^2-2 b x+x^2\right) \left(2 a b-a x-b x+x^2\right)}{(-a-b+x)^3}\]
求解零点得到
\[\begin{array}{c}
x\to -\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b \\
x\to \sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b \\
x\to \frac{1}{2} \left(-\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) \\
x\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) \\
\end{array}\]
王守恩 发表于 2020-5-23 07:17
是这样吗？
已知：\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF}{AB}\bi ...
根据hujunhua 的精湛理论分析和王守恩的神奇的想象力,得
FE最小值公式 FEmin=Sqrt*(a+b-Sqrt) 测试无误,没有反例,
祝贺王守恩
见测试实例:(为了简单,快速,用NMinimize求解数值最小值)
FEmin 是数值解
k abFEmin AE转角(度) a+b-Sqrt Sqrt*(a+b-Sqrt)
1 242.82843 0. 2. 2.82843
2 815 10.6181.87837 7.50807 10.618
3 814 9.94669 3.94972 7.03337 9.94669
4 813 9.30241 6.24335 6.57779 9.30241
5 812 8.68835 8.79398 6.14359 8.68835
6 811 8.10839 11.6426 5.7335 8.10839
7 810 7.567314.8375 5.35089 7.5673
8 897.07107 18.4349 5. 7.07107
9 886.62742 22.5 4.68629 6.62742
王守恩 发表于 2020-5-23 07:17
是这样吗？
记：\(\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(k^\circ)}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF(k^\c ...
你的公式正确,给出验证代码和计算结果(* 验证 王守恩 12#FE公式正确 求解 OK
我以前使用的是另外一个计算公式
NMinimize 快
Minimize慢
例题:a=8,b=9
*)
Clear["Global`*"]
a=8;b=9;
(* 由王守恩12#公式 *)
CF=b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])];
EF2=CE^2+(b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])])^2;
Clear;
ansm=NMinimize[{EF2,0<=CE<= a },CE(*,WorkingPrecision\50 *)];
EFmin=Sqrt]];
CEmin=CE/.ansm[];
CFmin=b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CEmin)/b])];
Print["最小值 FE=",N," CE=",N," CF=",N]
Print["=== end === "]
输出:
最小值 FE=7.07107 CE=5. CF=5.
本帖最后由 dlpg070 于 2020-5-23 16:47 编辑
王守恩 发表于 2020-5-23 07:17
是这样吗？
记：\(\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(k^\circ)}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF(k^\c ...
你的12#公式正确,给出验证代码和计算结果(* 验证 王守恩 12#FE公式正确 求解 OK
我以前使用的是另外一个计算公式
NMinimize 快
Minimize慢
例题:a=8,b=9
*)
Clear["Global`*"]
a=8;b=9;
(* 由王守恩12#公式 *)
CF=b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])];
EF2=CE^2+(b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])])^2;
Clear;
ansm=NMinimize[{EF2,0<=CE<= a },CE(*,WorkingPrecision\50 *)];
EFmin=Sqrt]];
CEmin=CE/.ansm[];
CFmin=b-a* Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CEmin)/b])];
Print["最小值 FE=",N," CE=",N," CF=",N]
Print["=== end === "]
输出:
最小值 FE=7.07107 CE=5. CF=5.
本帖最后由 王守恩 于 2020-5-24 05:29 编辑
dlpg070 发表于 2020-5-23 09:48
根据hujunhua 的精湛理论分析和王守恩的神奇的想象力,得
FE最小值公式 FEmin=Sqrt*(a+b-Sqrt) ...
谢谢 hujunhua 2楼的启示！
继续猜想！奇妙的数字！
BF,DE,EC 3 个数是 1 组勾股数！
即：\(\D(BF)^2+(DE)^2=(EC)^2\)
还有比这还简单的吗？
\(\D\frac{AB}{BF}=\frac{BF}{EC-ED}\)
mathematica 发表于 2020-5-23 09:37
一个点是(x,0),一个点是(0,y)
你说的对，求导数得到
继续猜想！接12楼。
记：\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(45-k)^\circ}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\frac{AD-CF(45-k)^\circ}{AB}\bigg)=(45-k)^\circ\)
猜想：\(\D\frac{CE(45-k)^\circ}{CF(45-k)^\circ}=\frac{CE(45+k)^\circ}{CF(45+k)^\circ}\)
王守恩 发表于 2020-5-24 07:55
继续猜想！接12楼。
记：\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(45-k)^\circ}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\fr ...
题目的本质就是求
在双曲线的约数条件下，
求到原点的距离的最小值。
双曲线是
\[-a^2+a x+a y-b^2+b x+b y-x y=0\]
修改一下就是
\[(x-(a+b))(y-(a+b))=2ab\]